师：同学们好，欢迎来到数学课堂。这节课我们学习初中数学北师大版七年级下册第一章第六节完全平方公式第一课时。上一节我们学习平方差公式，知道它是一般多项式乘法的特殊形式，即当(c = a)，(d = -b)时的情况，其结果是(a^2 - b^2)。那么当(c = a)，(d = b)时，((a + b)(a + b))等于什么呢？根据乘方定义，((a + b)(a + b))就是((a + b)^2)，它的结果有什么特殊性呢？带着这个问题，我们开始今天的新知探究。
首先，计算下面三个小题。
第一小题，((m + 3)^2)，它是((m + 3))与((m + 3))的乘积。运用整式乘法法则计算，可得(m^2 + 3m + 3m + 3^2)，注意到中间两项相同，用乘法表示为(m^2 + 2×3m + 9)，继续运算结果为(m^2 + 6m + 9)。
第二小题，((2 + 3x)^2)，它是((2 + 3x))与((2 + 3x))的乘积。运用整式乘法运算，可得(2^2 + 2×3x + (3x)^2)，中间两项相同，整理为(2^2 + 2×2×3x + 9x^2)，继续运算得(4 + 12x + 9x^2)。
第三小题，((2a + b)^2)等于((2a + b))与((2a + b))的乘积。类比前两个小题的运算过程，可得结果为(4a^2 + 4ab + b^2)。这三个小题我们利用整式乘法运算法则顺利求解了，大家还能再举出几个类似的例子吗？把你们举的例子和这几个小题放在一起，继续探索。
观察上面的算式和结果，有什么发现呢？我们把算式和结果放在一起看，先看左边的算式，((m + 3)^2)、((2 + 3x)^2)、((2a + b)^2)，注意到左边的算式都是两数和的平方。再看右边的结果，都是三项。下面一项一项来看共同特征，以第一小题为例，结果中的第一项(m^2)是左边算式中(m)这一项的平方；第三项(9)是左边算式中第二项(3)的平方。第二、三小题是不是也符合这样的特征呢？看第二小题，结果的第一项(4)是左式中(2)的平方，第三项(9x^2)是左式中(3x)的平方。第三小题，结果的第一项(4a^2)是左式中(2a)的平方，第三项(b^2)是左式中第二项(b)的平方，和第一小题特征相同。接下来看中间第二项，还是以第一小题为例，(6m)与左式中的两项有什么关联呢？它是左边两项(m)和(3)乘积的(2)倍。第二、三小题也是这样吗？看第二小题右式中，第二项(12x)是左式中(2)与(3x)乘积的(2)倍；第三小题中的(4ab)是左式中(2a)与(b)乘积的(2)倍。
所以根据对结果三项的分析，我们可以把结果总结为：两数的平方和加上这两数乘积的二倍。结合左右两式的关系，我们得到这样的猜想：两数和的平方等于这两数的平方和加上这两数乘积的(2)倍。这个猜想对吗？如何验证呢？我们可以用(a)、(b)两个字母表示这两数，那么两数和的平方即为((a + b)^2)，两数的平方和是先平方再求和，即为(a^2 + b^2)，这两数乘积的(2)倍即为(2ab)。这个猜想用等式表示为((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2)。下面验证这个等式是否成立，从左边开始，((a + b)^2)是两个相同的二项式((a + b))的乘积，利用整式乘法运算法则，它等于(a^2 + ab + ab + b^2)，继续计算得(a^2 + 2ab + b^2)，和猜想等式的右式完全相同，说明我们的猜想是正确的。我们把((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2)称为完全平方和公式。用文字语言叙述为：两数和的平方等于这两数的平方和加上这两数乘积的二倍。
还记得我们怎么探究平方差公式的吗？我们不仅利用整式运算验证了平方差公式，还利用几何图形的拼接解释了它。对于完全平方和公式，是不是也能用几何图形解释呢？看这个公式，(a^2)、(b^2)以及((a + b)^2)能让我们联想到什么图形？对，是正方形。(a^2)对应的是边长为(a)的正方形的面积，(b^2)是边长为(b)的正方形的面积，((a + b)^2)便是边长为((a + b))的正方形的面积。那么(2ab)对应什么呢？它对应的是两个边长分别为(a)、(b)的矩形的面积。我们来看一组动图，将右式所对应的这(4)个图形拼接到一起，会发现什么呢？从过程中可以直观看到，右边这四个图形拼接后与左边的大正方形完全重合，即它们的面积相等，这就说明了((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2)这个等式是正确的，这就是完全平方和公式的几何解释。实际上，这一等式最早就是从几何图形中发现的。公元前(3)世纪，古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中首次将完全平方公式单独抽象出来，他说：任意分一线段成两段，则整段上的正方形等于两分 段上的正方形与两分 段构成矩形的两倍之和，和我们刚才的拼接过程一致。
下面类比两数和的平方的推导过程，思考两数之差的平方怎么算呢？即((a - b)^2)等于什么？请同学们独立思考。想出来了吗？首先可以将((a - b)^2)转化为((a - b)(a - b))，运用整式乘法则算出为(a^2 - ab - ab + b^2)，合并同类项得(a^2 - 2ab + b^2)。还有其他算法吗？其实可以把(a - b)看成(a)与(-b)的和，也就是把((a - b)^2)转化为([a + (-b)]^2)。这样就可以把这里的(a)看成完全平方和公式中的(a)，把(-b)看成完全平方和公式中的(b)，直接套用完全平方和公式，可得(a^2 + 2×a×(-b) + (-b)^2)，继续化简得(a^2 - 2ab + b^2)。两种方法不同，第一种把((a - b)^2)转化为两个相同整式相乘，利用整式乘法则化简计算；第二种把(a - b)转化为(a + (-b))，利用完全平方和公式求解。虽然思路不同，但都采用了转化方式，将新算式转化成熟悉的形式，运用学过的知识求解。从这个过程可以发现，两数之和的平方与两数之差的平方的计算可以相互转化。我们把这个等式称为完全平方差公式，用文字语言描述为：两数差的平方等于这两数的平方和减去这两数乘积的(2)倍。