师：同学们好，今天咱们一起来复习人教版七年级数学第六章实数。请大家准备一张长方形纸片，开启今天的实数之旅。
大家看这样一张长方形纸片，它的长为(1.5)，宽为(1)。老师第一个问题是，它长和宽的和是多少？这个很简单，用长(1.5)加上宽(1)，即(1.5 + 1 = 2.5)。如果长用字母(a)表示，宽用(b)表示，那么算式可写成(a + b = c)，运算结果(c)我们叫做和。
那如果知道长和宽的和以及长，怎么求宽呢？这就需要用(2.5)减去(1.5)，算出等于(1)。同样用字母表示就是(c - a = b)，这个运算结果(b)我们叫做差。
请同学们观察这两个式子，第一个式子是加法运算，第二个式子是减法运算，我们知道加法和减法是一组互逆运算。
老师的第二个问题，长方形的面积会算吗？根据长方形面积计算方法，等于长乘以宽。那么这个长方形面积就是(1.5×1 = 1.5)。用字母表示这个式子就是(a×b = c)，运算结果(c)我们叫做积。
要是老师告诉你这张长方形纸片的面积以及它的长，该怎么求宽呢？这时就要用(1.5÷1.5 = 1)，改成字母形式就是(c÷a = b)，运算结果(b)我们叫做商。
这两个式子，第一个是乘法运算，第二个是除法运算，和加法与减法一样，乘法和除法也是一组互逆运算。
那我们还学过其他运算吗？大家看，如果将长方形按如下方式折出一个边长为(1)的正方形，同学们也可以动手折一折。老师的问题是，这个正方形的面积是多少？正方形面积计算方法是边长的平方，所以这个正方形面积可表示为(12 = 1)。用字母表示就是(a2 = b)，运算结果(b)我们叫做幂。
如果已经知道一个正方形的面积，怎么求边长呢？这就需要用到开平方运算了。考虑到边长的实际意义，我们表示为算术平方根(\sqrt{1} = 1)。撇开边长实际意义，开平方表示为(\pm\sqrt{b} = \pm a)，这里运算结果(\pm a)我们叫做平方根。
在这两个式子中，第一个叫做平方，平方也叫二次方，是乘方的一种。第二个式子叫做开平方，平方和开平方属于互逆运算。
还有其他运算吗？老师拿(6)张边长为(1)的正方形拼成一个正方体，能求出它的体积吗？正方体体积公式是棱长的三次方，所以体积表示为(13 = 1)。换成字母表示就是(a3 = b)，所得结果(b)仍然叫做幂。
反过来，如果老师告诉你正方体体积，能求出棱长吗？这就需要用到开立方运算，表示为(\sqrt[3]{1} = 1)。用字母表示就是(\sqrt[3]{b} = a)，运算结果(a)我们叫做立方根。
这两个式子中，第一个叫做立方，和平方一样，属于乘方的一种，乘方不止平方、立方，还有四次方、五次方等。第二个式子的运算叫开立方。开立方、开平方都叫开方，开方不只有开平方、开立方，还可以开(4)次方、(5)次方直至(n)次方。立方和开立方之间也属于互逆运算。
在以上几个问题中，我们出现的运算有加减乘除、乘方、开方。其中加减运算属于一级运算，乘除属于二级运算，开方乘方属于三级运算，级别越高，优先计算。老师要强调的是，乘方不仅包含平方、立方，还有(4)次方、(5)次方直至(n)次方；开方不仅有开平方、开立方，以后还会学到开(4)次方、开(5)次方等等。
在刚才所得结果中，老师提到了算术平方根、立方根，它们有什么区别呢？下面请同学们和老师一起完成这个表格。
从表示方法看，(a)的算术平方根表示为(\sqrt{a})，(a)的平方根表示为(\pm\sqrt{a})，(a)的立方根表示为(\sqrt[3]{a})。这里要注意，三者根指数不同，算术平方根根指数(2)可省略不写，但立方根根指数(3)必须明确。
从(a)的取值范围看，(a)表示被开方数，在算术平方根和平方根里，被开方数要求非负，即(a\geq0)；而立方根里的被开方数可以是任意实数。
从性质角度说，若被开方数(a)是正数，它的算术平方根有一个；(a = 0)时，算术平方根是(0)；(a)是负数则没有算术平方根。再看平方根，如果(a)是正数，(a)的平方根有两个且互为相反数；(0)的平方根是(0)，负数没有平方根。(a)的立方根呢，如果(a)是正数，正数有一个立方根且为正数；(0)的立方根是(0)，负数的立方根也有一个且为负数。
求算术平方根或平方根的运算叫开方运算，求立方根的运算叫开立方运算。
最后看，哪些数经过运算后是本身呢？算术平方根等于本身的数有两个，是(0)和(1)；平方根等于本身的数只有(0)；立方根等于本身的数有(3)个，分别是(-1)、(0)、(1)。大家填对了吗？相信同学们都完成得不错。
接下来老师的问题更有难度了。看活动二，将两个边长为(1)的正方形拼成一个新正方形，这个新正方形边长是多少？还记得怎么求吗？把两个边长为(1)的正方形拼成大正方形，面积不变。假设新正方形边长为(x)，根据面积可得方程(x2 = 2)。
怎么计算方程中的(x)呢？两边同时开平方，(x = \pm\sqrt{2})，考虑到边长实际意义，(x)取(\sqrt{2})。
说到(\sqrt{2})，老师想到两个词，无限不循环小数。我们知道(\sqrt{2})是无限不循环小数，也是无理数。学习无理数后，数系从有理数扩充到实数，那怎么将实数分类呢？
实数包括有理数和无理数。细分的话，有理数包括正有理数、(0)、负有理数；无理数分为正无理数、负无理数。从小数角度描述，有理数是有限小数和无限循环小数，无理数是无限不循环小数。非(0)有理数有正负之分，无理数也有，那能将实数按照性质符号划分吗？
实数按性质符号划分，包括正实数、(0)、负实数。正实数包括正有理数、正无理数，正有理数又分为正整数、正分数；负实数包括负有理数和负无理数，负有理数包括负整数和负分数。这里概念很多，大家能区分吗？