师：同学们好，上节课我们研究了运用所学知识解决生活中测量距离的问题。解决方法的共同点是构造三角形，将要求的距离转化为三角形的一条边，进而转化为解斜三角形问题。那么，解斜三角形的主要理论依据是什么？
生：主要依据是正弦定理、余弦定理。
师：同学们还记得正弦定理、余弦定理的内容吗？正弦定理指的是在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等。余弦定理指的是三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角余弦的积的两倍。将余弦定理的公式进行简单变形就能得到它的推论，比如(\cos A = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2bc}) 。那正弦定理、余弦定理分别适合解哪些类型的三角形呢？同学们回忆一下，如果一个三角形已知两角及一边，此时我们可以用正弦定理来求解。我们把已知条件用红笔标出，该如何求呢？
生：首先根据三角形内角和等于(180^{\circ})求出第三个角，再用正弦定理求剩下的元素。
师：如果一个三角形已知两边及一边所对的角，这时我们仍然可以用正弦定理来求。先根据正弦定理求出(\sin A)，进而求出角(A)，再根据三角形内角和等于(180^{\circ})求出角(C)，然后求剩下元素。如果已知三角形的三条边，我们可以用余弦定理的推论求出三个角。如果已知三角形的两边及夹角，我们可以用余弦定理先求出第三边，再求剩下的元素。从这四种类型的三角形可知，运用正弦、余弦定理解三角形时，三角形六个元素中至少要知道三个元素才可以求剩下的元素，而且这三个元素中要已知一条边的信息。
其实正弦定理、余弦定理不仅能帮助我们解决生活中测量距离的问题，还能解决测量高度的问题，比如测量底部不可到达的建筑物的高度、水平飞行的飞机测量下方山的海拔高度等等。我们今天这节课就来研究这方面的问题。首先看题目，如图，(A)、(B)是底部(A)不可到达的一个建筑物，(B)为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度(AB)的方法，大家先思考一下。
生：根据上节课的经验，我们可以选一点(C)构造三角形，这里注意(C)点的选取要与底部(A)在同一水平线上。构造三角形(ABC)后，在三角形(ABC)中求解(AB)的大小。比如在(C)点用测角仪测得建筑物最高点(B)的仰角。
师：这时问题又来了，测角仪本身有一定的高度，如何处理呢？
生：既然测角仪有高度(h)，那么我们将(AB)一分为二，转化为(A_{1}B)，加上测角仪的高度(h)即可。
师：那如何求(A_{1}B)？在直角三角形(A_{1}BC_{1})中，但这个三角形目前只知道角的信息，无法求出(A_{1}B)。如果能求出(C_{1}B)，再由仰角(\alpha)就可以求出(A_{1}B)。现在的问题就转化为如何求(C_{1}B)。求(C_{1}B)的长，其实就是上节课例一的问题，有一点不可到达，你们还记得如何求解吗？
生：在底部(A)的同一水平线上再选一个点(D)，测得(C_{1}D_{1})的长度及仰角(\beta)就可以求解了。
师：好，现在同学们动笔试试看。
（同学们做题）
师：好，同学们现在停下笔，我们一起来解答这一题。根据刚才的分析，我们要求(AB)，那么我们先求出(A_{1}B)，(A_{1}B)怎么求呢？我们把它放在直角三角形(A_{1}BC_{1})中。那么在三角形(ABC)中，我们现在知道一个角，我们还要求边，所以我们要选择求哪个边，我们选择求(C_{1}B)边。因为(C_{1}B)边还在三角形(C_{1}BD_{1})中，而这个三角形中有很多信息，这是我们分析的思路，那我们接下来根据这思路来求解。
首先我们来分析在这个三角形中知道哪些信息，有一个内角(\alpha)，有一个边长(a)，还给了这个三角形的一个补角(\beta)，那么其实另外两个角我们都可以表达出来，比如说这个角可以写成(\pi - \beta)，这个角可以写成(\beta - \alpha)，这样这个三角形就已知三个角及一边了，我们可以用正弦定理来求出(C_{1}B)。那我们来看看我们用正弦定理用的哪些边和角呢？我们要用到(C_{1}B)以及它所对的角，我们还用到题目所给的边(C_{1}D_{1})和它所对角，那这个角题目中没有直接给出，所以我们先说明(\angle C_{1}BD_{1} = \beta - \alpha)，然后在三角形(C_{1}BD_{1})中由正弦定理得：(\frac{C_{1}B}{\sin\angle C_{1}D_{1}B} = \frac{C_{1}D_{1}}{\sin\angle C_{1}BD_{1}})，代入相关信息，即(\frac{C_{1}B}{\sin(\pi - \beta)} = \frac{a}{\sin(\beta - \alpha)})。经过简单的变形，我们得到(C_{1}B = \frac{a\sin(\pi - \beta)}{\sin(\beta - \alpha)})，化简得到(C_{1}B = \frac{a\sin\beta}{\sin(\beta - \alpha)})。(C_{1}B)现在已经求出来了。那我们接下来在直角三角形(A_{1}BC_{1})中，在这个直角三角形中，我们要求的边(A_{1}B)是角(\alpha)所对的边，我们还知道了斜边(C_{1}B)，所以我们可以借助(\sin\alpha = \frac{A_{1}B}{C_{1}B})建立等量关系，所以(A_{1}B = C_{1}B \cdot \sin\alpha)，把数据带进去，也就是(A_{1}B = \frac{a\sin\beta\sin\alpha}{\sin(\beta - \alpha)})。
最后我要求的(AB = A_{1}B + h)，同学们，你们做出来了吗？同学们在求解的过程中，不知道有没有注意到，其实三角形(A_{1}B)还在直角三角形(A_{1}BD_{1})中，那么我们其实也可以在这个三角形中求解(A_{1}B)，解决的思路跟这个方法类似，你们课下可以自己尝试解答。
我们再来看一题，如图，在山顶上有一座铁塔(BC)，塔顶和塔底都可到达，言外之意是(BC)长度可以直接测量出来，我们这里记为(h)，(A)为地面上一点。通过测量哪些数据可以计算出山的高度呢？同学们想出来了吗？这里老师想的方法是在(A)点测得到达(B)点和(C)点的仰角，分别记为(\beta)、(\alpha)。在这里面测角仪的高度我们忽略不计，当然同学们也可以在(B)点、(C)点测得到(A)点的补角或者是其他的测量方法。那如果按照现在题目给的信息，你们尝试能否用(\alpha)、(\beta)、(h)来表达出山高(CD)的值？你们一起来思考一下。
（同学们思考做题）
师：好，同学们现在停下笔，我们一起来分析一下我们如何求山高(CD)的值呢。我们发现(CD)在三角形(ACD)中，这个三角形是一个直角三角形，因为山高与地面垂直。在这个三角形中我们发现已经知道了一个角(\alpha)，现在信息还不够，我们还需要一条边的信息。那同学们想我们现在还有边(AD)和(AC)，选择哪一条边呢？
生：我们其实可以选择(AC)，因为(AC)还在三角形(ABC)中，而这个三角形中有很多信息。
师：我们发现(CD)其实还可以根据先求(BD)的值，如果(BD)能求出来的话，那么减去(BC)其实也能求出(CD)，那(BD)又如何求呢？
生：我们发现(BD)在直角三角形(ABD)中，所以我们可以在这个三角形中求。那这个三角形中现在也是只知道一个角，我们还要求出一边，我们可以选择求(AB)，因为(AB)还在三角形(ABC)中，这个三角形中有很多信息。
师：两种思路，两种方法的思路很相似，同学们选择其中一种思路，求出(CD)的表达式。
（同学们做题）
师：好，同学们求好了吗？我们一起来看一下，如果你选择的是思路一，在三角形(ADC)中求(CD)，那么你得到表达式应该是(\frac{h\sin\alpha\cos\beta}{\sin(\beta - \alpha)})。如果你选择的是先求(BD)再减去(h)，那么你求得的解析式应该是(\frac{h\cos\alpha\sin\beta}{\sin(\beta - \alpha)} - h)，你做对了吗？接下来我们再来看第三题，一辆汽车在一条水平的公路上沿正东行驶，在(A)处测得公路南侧远处一山顶(D)在北偏南(15^{\circ})的方向上，行驶(5)千米后到达(B)处，此时测得山顶在北偏南(25^{\circ})方向上，仰角为(8^{\circ})，求此山的高度(CD)。同学们现在来思考一下如何求(CD)。