师：同学们，大家好。今天让我们一起来学习初中数学人教版八年级下册第十九章小结课第二课时。上节课我们复习了一次函数的概念、图像与性质，以及利用待定系数法求一次函数的解析式。本节课我们将复习用函数的观点看方程组与不等式，它主要包括三个方面：一次函数与一元一次方程；一次函数与一元一次不等式；一次函数与二元一次方程和二元一次方程组。下面让我们一起来复习相关知识点。
首先回顾一次函数与一元一次方程。求一元一次方程(ax + b = 0)（(a)、(b)是常数，(a \neq 0)）的解，从数的角度看，相当于问(x)为何值时，一次函数(y = ax + b)的值为(0)。从形的角度看，相当于求直线(y = ax + b)与(x)轴交点的横坐标。由此联想到求方程(ax + b = n)（(a)、(b)、(n)是常数，(a \neq 0)）的解，从数的角度看，相当于问(x)为何值时，一次函数(y = ax + b)的值为(n)；从形的角度看，相当于求直线(y = ax + b)与直线(y = n)交点的横坐标。这就是一次函数与一元一次方程的关系。那么它与一元一次不等式又有怎样的关系呢？
解不等式(ax + b > 0)或者(ax + b < 0)（(a)、(b)是常数，(a \neq 0)），从数的角度看，相当于求函数(y = ax + b)的值大于(0)或者小于(0)时所对应的自变量取值范围。从形的角度看，相当于求直线(y = ax + b)在(x)轴上方或下方的部分所对应的横坐标的取值范围。这就是一次函数与一元一次不等式的关系。
那么一次函数与二元一次方程和二元一次方程组又有什么样的关联呢？解方程组(\begin{cases}y = A_1x + B_1 \ y = A_2x + B_2\end{cases})，从数的角度看，相当于求自变量(x)为何值时，一次函数(y = A_1x + B_1)和函数(y = A_2x + B_2)的值相等，并求出这个函数值。从形的角度看，相当于确定直线(y = A_1x + B_1)和直线(y = A_2x + B_2)的交点坐标。
好，回顾了一次函数与一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程和二元一次方程组之后，让我们一起走进例题。
例一，如图，直线(y = kx + b)经过点(B(-2,0))，同时与直线(y = 4x + 2)相交于点(A(-1,-2))。结合图像回答下列问题。请同学们按下暂停键，在草稿本上写下你的答案后再继续学习。
（一）二元一次方程组(\begin{cases}y = kx + b \ y = 4x + 2\end{cases})的解为多少？分析题意可知，题目条件中告诉我们直线(y = kx + b)和直线(y = 4x + 2)的交点坐标为((-1,-2))。结合刚才复习的一次函数与二元一次方程组的关系，可直接得出该方程组的解为(x = -1)，(y = -2)。
（二）不等式(4x + 2 < kx + b)的解集是什么？观察图像，我们知道这两条直线的交点坐标为((-1,-2))。在此处画上分割线，并用蓝色对分割线左侧的图像进行突出标示，发现在分割线的左侧直线(y = 4x + 2)的图像在直线(y = kx + b)的图像下方，此时满足(4x + 2 < kx + b)，故不等式(4x + 2 < kx + b)的解集是(x < -1)。
（三）不等式组(\begin{cases}4x + 2 < kx + b \ kx + b < 0\end{cases})的解集是什么？结合第二小问，我们知道不等式(4x + 2 < kx + b)的解集是(x < -1)，那么本题的重点就是分析不等式(kx + b < 0)的解集是什么，然后找出它们的公共部分。观察图像，我们看到直线(y = kx + b)与(x)轴交点的横坐标是(-2)。而在该交点的右侧，直线(y = kx + b)的图像在(x)轴下方，此时满足(kx + b < 0)，故不等式(kx + b < 0)的解集是(x > -2)。从数轴上找它们的公共部分，得出该不等式组的解集是(-2 < x < -1)。
提醒同学，利用一次函数图像来确定方程组的解，主要是找交点坐标；而利用一次函数图像来确定不等式的解集，则需先看交点，再看交点左右的图像高低。
好，我们一起来看一看下面这两道练习。
练习一，若一次函数(y = kx + b)（(k)、(b)为常数且(k \neq 0)）的图像经过点(A(0,-1))、(B(1,1))，则不等式(kx + b > 1)的解集为（ ）
A. (x < 0) B. (x > 0) C. (x < 1) D. (x > 1)
练习二，已知直线(y = 2x)与(y = -x + b)的交点为((-1,a))，则方程组(\begin{cases}y - 2x = 0 \ y + x - b = 0\end{cases})的解为哪个选项？
请同学们按下暂停键，4分钟后再继续学习。
我们先来看练习一。题目中告诉我们一次函数(y = kx + b)的图像经过了点(A(0,-1))和(B(1,1))，利用这两点，我们可以画出这个一次函数的图像。如图，先建立平面直角坐标系，然后再分别描出点((0,-1))和((1,1))这两点，最后连线得到一次函数(y = kx + b)的图像。发现这个函数从左往右呈上升趋势，因为要求的是不等式(kx + b > 1)的解集，所以我们可以做一条分割线，直线(y = 1)。我们发现在直线(x = 1)的右侧函数(y = kx + b)的图像位于分割线(y = 1)的上方，此时满足(kx + b > 1)，故该不等式的解集是(x > 1)，正确答案选D。你做对了吗？
练习二，题目已知直线(y = 2x)与(y = -x + b)的交点为((-1,a))，问方程组(\begin{cases}y - 2x = 0 \ y + x - b = 0\end{cases})的解是什么？乍一看仿佛前面给的两条直线与后面的方程组毫无关联，事实是这样吗？对了，不是。将(y = 2x)与(y = -x + b)分别移项得到的便是后面所给的二元一次方程组中的两个方程。故这个方程组的解就是这两条直线的交点坐标。而交点的纵坐标并没有直接给出，所以我们还得求一求。那么怎么求出(a)的值呢？其实第一条直线的解析式已经具体给我们了，我们可以把点((-1,a))代入(y = 2x)中得到(a = -2)，故本题正确答案选D。相信同学们应该都可以做对。
好，一起来看例二。在一次蜡烛燃烧实验中，甲、乙两根蜡烛燃烧时剩余部分的高度(y)（单位：厘米）与燃烧时间(x)（单位：小时）之间的关系如图所示。
（一）甲、乙两根蜡烛燃烧前的高度分别是多少？从点燃到燃尽所用的时间分别是多少？
（二）当(x)等于多少时，甲、乙两根蜡烛在燃烧过程中的高度相等？
（三）当满足什么条件时甲比乙高？而又当满足什么条件时，甲比乙低？
请同学们再次按下暂停键稍作思考后再继续学习。
图中蓝色的线代表的是甲，红色的线代表的是乙。观察图像，我们发现蓝色线段与(y)轴交点的纵坐标为(30)，而红色线段与(y)轴交点的纵坐标为(25)，而我们知道当时间为零时，两根蜡烛都没有燃烧，故甲、乙两根蜡烛燃烧前的高度分别是(30)厘米和(25)厘米。同样的，我们也可以从图像中看到甲与(x)轴的交点横坐标为(2)，乙与(x)轴交点的横坐标为(2.5)。其中纵坐标代表的是高度，当高度为(0)时，即代表蜡烛已全部燃尽，所以甲和乙从点燃到燃尽所用的时间分别是(2)小时和(2.5)小时。
那么针对第二问中何时甲和乙的高度相等的问题，你是如何思考的呢？我们知道本题中纵坐标(y)代表的意义就是蜡烛燃烧时剩余部分的高度，令纵坐标相等，求其横坐标等同于问图中甲、乙两个图像交点的横坐标，答案是(1)小时。让我们做一条分割线，(x = 1)，观察图像，发现分割线的左侧甲图像在乙图像的上方，此时甲比乙高，即当(0 < x < 1)时，甲比乙高；在分割线的右侧，甲图像在乙图像的下方，此时甲比乙低，即当(1 < x < 2.5)时，甲比乙低。你做对了吗？
练习三，某医药研究所开发了一种新药，实验时发现，若成人按规定剂量服用，则每毫升血液中含药量(y)（单位：毫克）随时间(x)（单位：小时）的变化情况如图所示。
（一）服药后几小时，血液中含药量最高，达到每毫升多少毫克？
（二）服药后(5)小时血液中含药量为每毫升多少毫克？
（三）当(x \leq 2)时，函数关系式是什么？当(x \geq 2)时，函数关系式是什么？
（四）如果每毫升血液中含药量(3)毫克或(3)毫克以上时治疗疾病最有效，那么这个有效时间是几小时？
请同学们按下暂停键，5分钟后再继续学习。
关注图像，我们发现图像的最高点坐标是((2,6))，它代表的实际意义是，当服药(2)小时，血液中含药量达到最高，为每毫升(6)毫克，从而我们就很轻松地解决了问题一。服药后(5)小时，血液中含药量为每毫升多少毫克？从图像上我们看到折线经过了((5,3))这个点，这就代表了服药后(5)小时血液中含药量为每毫升(3)毫克，同样很轻松地解决了问题二。
第三问的是函数解析式，这就需要我们用到上一节课复习的待定系数法了。当(x \leq 2)时，从图中可以看到它是一条经过原点的线段，也就是说此时它是一个正比例函数，故我们可以设它的解析式为(y = kx)，结合图像信息把((2,6))代入(y = kx)中，得(2k = 6)，解得(k = 3)，故当(x \leq 2)时，函数关系式是(y = 3x)。
同样的，观察图像，我们可以看到，当(x \geq 2)时，函数图像是一条不经过原点的线段，也就是说此时它是一个一次函数，故可以设它的解析式为(y = kx + b)。结合图像将点((2,6))和((5,3))代入(y = kx + b)中，我们可以得到二元一次方程组(\begin{cases}2k + b = 6 \ 5k + b = 3\end{cases})，解得(k = -1)，(b = 8)。所以当(x \geq 2)时，函数关系式是(y = -x + 8)。
第四问，如果每毫升血液中含药量(3)毫克或(3)毫克以上时治疗疾病最有效，那么有效时间是几小时？从问题中可以看出，(3)毫克是分水岭，而直线(y = 3)这条分割线图中已经存在，它与函数图像有两个交点，含药量要求在(3)毫克或(3)毫克以上，这就要求图像在分割线和分割线以上部分所对应的时长。我们可以把(y = 3)代入到第一段函数解析式(y = 3x)中，得(3x = 3)，解得(x = 1)。在图中用红线将其标示，然后我们再标注出分割线以上的部分，观察发现它在(1)小时到(5)小时之间属于有效时间，所以这个有效时间是(4)小时。你做对了吗？
例3，如图，已知直线(y = -2x + 6)和(y = x + 3)分别与(x)轴交于点(A)、(B)，且两直线交于点(P)。
（一）求点(A)、(B)及点(P)的坐标。
（二）求(\triangle PAB)的面积。
请同学们按下暂停键，在草稿本上写下解题过程，然后再继续学习。
根据题意可知，因为点(A)和(B)分别是直线(y = -2x + 6)和(y = x + 3)与(x)轴的交点，所以我们可以根据(x)轴上点的特征先令(y = 0)，分别得到两个一元一次方程，解出(x)的值，从而求出点(A)和点(B)的坐标，而点(P)是这两条直线的交点，我们可以通过联立方程组来求交点坐标。
而对于第二小题求面积，同学们你们一般如何求三角形的面积呢？对的，我们可以直接利用三角形面积公式“底乘高除以(2)”来计算。结合图像，我们发现要想求(\triangle PAB)的面积，因为点(A)和(B)都在(x)轴上，所以我们可以以(AB)为底，做出(AB)边上的高来求。如图，过点(P)作(PM \perp x)轴于(M)点，前面我们已经求出(A)和(B)的坐标了，那么(AB)长就等于(A)的横坐标减去(B)的横坐标来求，而(AB)边上的高就是点(P)到(x)轴的距离，也就是它的纵坐标的绝对值。代入公式就可以求出(\triangle PAB)的面积了。
下面我们一起来看一下具体的解答过程。
（一）令(y = 0)，则(-2x + 6 = 0)和(x + 3 = 0)，解得(x = 3)和(x = -3)，所以点(A)为((3,0))，点(B)为(( -3,0))。
联立方程组(\begin{cases}y = -2x + 6 \ y = x + 3\end{cases})，解得(x = 1)，(y = 4)，所以点(P)的坐标为((1,4))。
（二）过点(P)作(PM \perp x)轴于(M)点，则(PM = 4)，(AB = |3 - (-3)| = 6)。
所以(S_{\triangle PAB} = \frac{1}{2} \times PM \times AB = \frac{1}{2} \times 4 \times 6 = 12)。
练习四，在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成的矩形的周长与面积相等，则这个点叫做和谐点。例如图中过点(P)分别作(x)轴、(y)轴的垂线，与坐标轴围成矩形(OAPB)的周长与面积相等，则点(P)是和谐点。
（一）判断点(M(1,2))是否为和谐点，并说明理由。
请同学们按下暂停键，理清解题思路，然后再与老师一起分析。抓住和谐点的定义，本题的关键是所围成的矩形周长与面积相等。结合图像，我们可以把图中的(P)换成(M)，因为点(M)的坐标为((1,2))，所以图中的(OA = 1)，(OB = 2)，所以可以分别求出它的周长和面积，通过比较周长和面积的大小来判断它是不是和谐点。
好，一起来看解析。
（一）首先应先回答结论，点(M)不是和谐点。理由如下，因为点(M)坐标为((1,2))，所以图中的(OA = 1)，(OB = 2)，过点(M)作(x)轴、(y)轴的垂线与坐标轴围成的矩形周长是(1×2 + 2×2 = 6)，面积是(1×2 = 2)，且(6 \neq 2)，所以点(M)不是和谐点。
（二）若和谐点(P(a,3))在直线(y = -x + b)（(b)为常数）上，求(a)、(b)的值。
请同学们再一次按下暂停键继续思考，5分钟后再继续学习。
结合题意，因为点(P)是和谐点，那么图中矩形(OAPB)的周长与面积就一定相等，由此就可以列出一个关于(a)的方程，从而求出(a)，再把求出的点的坐标代入直线(y = -x + b)上，从而就能求出(a)和(b)的值。
下面我们一起来看一下具体的解题过程。
因为点(P)是和谐点，所以(2|a| + 2×3 = 3|a|)，解得(a = ±6)，所以(P(6,3))或(P(-6,3))。
又因为直线(y = -x + b)过点(P)，所以(-a + b = 3)，所以(b = a + 3)。
所以当(a = 6)时，(b = 9)；当(a = -6)时，(b = -3)。
好，以上就是我们本节课的内容，最后我们来小结一下，本节课你有什么样的收获？可以暂停一下，试着在草稿本上写下你的收获。回顾本节课学习，我们主要复习了一次函数与方程组和不等式之间的关系。特别注意的是，方程组关键是看交点，而不等式的关键是看高低。本节课涉及到的数学思想有转化的思想、数学建模的思想、数形结合的思想、方程与函数的思想。好了，本节课学习就到这了，同学们，再见。