师：同学们好，今天这节课我们学习八年级上册12.3角的平分线的性质第二课时。下面我们来看本节课的教学目标。一是理解角的平分线的判定定理，这是本节课的难点；二是掌握角的平分线判定定理内容的证明方法，并应用其解题；三是学会判断一个点是否在一个角的平分线上。
先来回顾一下上节课所学内容，角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等。用几何语言描述就是：因为OC平分∠AOB，且PD⊥OA，PE⊥OB，所以PD = PE，不必再证全等就能推得线段相等。这里点P在∠AOB的平分线OC上，PD是点P到OA的垂线段，也就是点P到OA的距离；PE是点P到OB的垂线段，即点P到OB的距离。
我们知道角平分线上的点到角的两边距离相等，那么交换角平分线性质中的已知和结论，到角的两边距离相等的点，能否判断它在角的平分线上呢？同学们试着看看能得到什么样的命题，这个命题是否正确呢？
我们回到角平分线性质的描述，角平分线上的点到角的两边距离相等，几何语言表述为：因为OC平分∠AOB，且PD⊥OA，PE⊥OB，所以PD = PE。现在猜想交换已知和结论，即PD⊥OA，PE⊥OB，且PD = PE，能否判断点P在∠AOB的平分线上呢？语言表述就是角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。我们来看看能否证明这个命题。
根据文字性求证题的要求，写出已知，画出图形，写出求证，然后给出证明。要证点P在∠AOB的平分线上，已知条件是PD⊥OA，PE⊥OB，且PD = PE 。我们作射线OP，由题意可得PD⊥OA，PE⊥OB，所以∠PDO = ∠PEO = 90°，这样就有两个直角三角形。又因为斜边是公共边，即OP = OP，且PD = PE ，所以可证明Rt△PDO≌Rt△PEO，依据是斜边、直角边对应相等的两个直角三角形全等。根据全等三角形对应角相等，可得∠AOP = ∠BOP，所以点P在∠AOB的平分线上。
这样我们就得到了本节课所学的角平分线的判定定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。应用此定理需具备两个条件：一是位置关系，该点应在角的内部；二是数量关系，该点到角两边的距离相等。此定理的作用是判断一个点是否在角的平分线上。应用格式为：因为PD⊥OA，PE⊥OB，PD = PE，所以点P在∠AOB的平分线上。
学习了角平分线的判定定理，能否运用它解决现实生活中的实际问题呢？下面来看一个小例题：如图，要在S区建一个集贸市场，使它到铁路和公路距离相等，并且离公路与铁路的交叉处500米。题目中给出比例尺是1 : 20000，我们知道图上距离与实际距离的比等于比例尺，500米换算成50000厘米，设图上距离为a厘米，则a : 50000 = 1 : 20000，同学们可以自己算一下，得出a = 2.5厘米。
解题方法是：作铁路与公路夹角的角平分线OC，然后根据题意截取OD = 2.5厘米，D点就是集贸市场应建的地方。方法点拨：根据角平分线的判定定理，要求作的点到角两边的距离相等，一般需作这两边直线形成的角的平分线，然后在这条角平分线上根据要求取点。
这就是运用所学知识解决实际问题的一个例子。接下来同学们动手操作一下，分别画出下列三角形三个内角的平分线，看看发现了什么？（同学们操作后）经过操作，我们发现三角形的三条角平分线交于一点，而且根据角平分线的性质定理，还能得到该点到三边的距离相等。
下面进行一个小练习：如图，在直角三角形ABC中，AC = BC，∠C = 90°，AP平分∠BAC，BD平分∠ABC，AP、BD交于点O，过点O作OM⊥AC。若OM = 4，求点O到三角形三边的距离和。
同学们分析一下，图中只有点O到边AC的垂线段OM = 4，那么点O到AB和BC的垂线段在哪呢？我们根据题意添加辅助线，过点O作OE⊥AB，ON⊥BC，垂足分别为E、N 。因为AP平分∠BAC，OE⊥AB，OM⊥AC，根据角平分线的性质定理，可得OE = 4。同理，因为BD平分∠ABC，所以OE = ON，所以OE = OM = ON = 4，那么点O到三角形三边的距离和为12 。这里我们通过添加辅助线，构造出所需的垂线段，帮助我们进行推理。