师：同学们好，请准备好笔、草稿本和计算器，开始今天的新课学习。在七年级上册，我们认识了负有理数，将数系扩充到有理数范围。上节课，我们又认识了无理数，把数系进一步扩充到实数范围。我们类比有理数，对实数进行了两种形式的分类，这里要提醒大家，分类标准要统一，做到不重不漏。我们再来梳理下七年级上册研究有理数的一般路径。先认识负数，接着了解有理数的意义，然后学习数轴，认识数轴后，借助数轴上的点表示有理数，进而学习相反数、绝对值。又利用数轴比较有理数的大小，最后学习有理数的运算。那么，我们能否类比这个路径去研究无理数与实数呢？无理数能否用数轴上的点表示？无理数有没有相反数、绝对值和倒数呢？今天这节课，老师就带大家一起探究这些问题。
上节课我们认识了根号2，今天咱们继续从根号2说起。大家思考下，能在数轴上找到表示根号2的点吗？回忆上节课，我们是如何得到根号2的？通过动手操作，将两块面积为1的正方形沿对角线剪开，得到4块一样的等腰直角三角形，再把这4块三角形拼在一起，得到一个面积为2的大正方形。利用方程知识解得这个正方形边长是根号2。也就是说，边长为1的小正方形对角线长是根号2。那我们能否借助这个知识解决今天的问题呢？我们一起来试试。首先画一条数轴，接着在数轴上画一个边长为1的正方形。
大家知道，如果连接其中一条对角线，这条对角线OP的长度就是根号2。接下来怎么把这个长度表示到数轴上呢？我们要借助圆规，以原点为圆心，OP长为半径画弧，让这段弧与数轴正半轴相交，它与正半轴相交的点A表示的数就是根号2。同学们，能模仿刚刚的方法，在数轴上表示出负根号2吗？自己动手试一试。
其实方法类似，我们只需要以原点为圆心，OP长为半径画弧，不与数轴正半轴相交，而是与数轴负半轴相交，这里的点D表示的数就是负根号2。这样我们发现，原来无理数也可以用数轴上的点表示，有理数能用数轴上的点表示，无理数也能，所以实数都可以用数轴上的点表示，反过来，数轴上的每一个点也表示一个实数，我们称实数和数轴上的点一一对应。
接下来通过一道例题加深对这个知识的理解。来看例1，如图，已知(x^2 = 3)，那么在数轴上与实数(x)对应的点可能是。大家仔细观察数轴，思考一下。首先分析题意，(x^2 = 3)，(x)应该是多少呢？根据平方根知识，可知(x)的值是正负根号3，所以A选项和B选项肯定不合题意。接着看数轴，正负根号3在数轴上表示应该在哪呢？大家可以用计算器算一下根号3的值，会发现根号3大约等于1.732，也就是说根号3的值大于1小于2，这样我们发现(P_4)点有可能表示的是根号3。那么负根号3呢？同样，负根号3应该在 -1与 -2之间，这样就发现只有D选项符合题意。
咱们再看这个数轴，通过刚才这题，我们知道(P_1)表示的是负根号3，(P_4)表示的是根号3，这样的一对数是互为相反数的数。它们在原点两侧，且距离原点的单位长度相等。于是我们知道互为相反数的两个数的和是0，表示成式子就是(\sqrt{3} + (-\sqrt{3}) = 0)。大家也可以借助数轴理解，负根号3与根号3到原点的距离都相等，这让我们想到绝对值，所以(\vert\sqrt{3}\vert = \sqrt{3})，(\vert -\sqrt{3}\vert = \sqrt{3})。
相反数和绝对值的意义我们了解了，再来想想倒数。前面学习知道，两个数乘积等于1，这两个数互为倒数，那么(\sqrt{3}×\sqrt{\frac{1}{3}} = 1)，这里的(\sqrt{3})与(\sqrt{\frac{1}{3}})就互为倒数。由此发现无理数也有相反数、绝对值和倒数。我们得到结论，在实数范围内，相反数、绝对值和倒数的意义与有理数范围内相同。接下来通过一组小练习，加深大家对实数的相反数、倒数和绝对值意义的理解。请大家思考，我们一起来看第一题。
(\sqrt{2})的相反数是？(\sqrt{2})是正无理数，它的相反数应该是(-\sqrt{2})。(\sqrt{2})的绝对值呢？我们知道正数的绝对值等于它本身，所以(\sqrt{2})的绝对值应该等于(\sqrt{2})。(\sqrt{2})的倒数，两个乘积为1的数互为倒数，所以(\sqrt{2})的倒数应该是(\sqrt{\frac{1}{2}})，后面学习会学习如何化简这个式子，目前写成这样就可以。
接着看第二小题，(-\frac{1}{\pi})，很明显它是负无理数，这个负无理数的相反数是多少呢？应该是(\frac{1}{\pi})。(-\frac{1}{\pi})的绝对值呢？我们知道负数的绝对值等于它的相反数，所以第二题应该填(\frac{1}{\pi})。继续看倒数，(-\frac{1}{\pi})的倒数是多少呢？这里特别容易错，大家会丢掉负号，你们写对了吗？下面题目可能难一些，一起来看。
第二题，在数轴上表示(-\sqrt{2})的点到原点的距离为多少？我们知道距离是非负数，所以(-\sqrt{2})到原点的距离应该是(\sqrt{2})，那么到表示数字2的点的距离是多少呢？大家结合题意，借助数轴想一想，正确答案是(2 + \sqrt{2})，你们写对了吗？我们分析下这题，其实可以这么看，(-\sqrt{2})的点到原点的距离是(\sqrt{2})，从原点到数字2的距离是2，这样就发现从(-\sqrt{2})到表示数字2的点之间的距离应该是(\sqrt{2} + 2 = 2 + \sqrt{2})。
好，接着看第三题，(\sqrt{3} - 2)的相反数是多少？绝对值又是多少呢？做这道题，我们可以这样分析，(\sqrt{3})大于1小于2，所以(\sqrt{3} - 2)是负数。求它的相反数，只需用括号括起来，再在前面添负号，最终去掉括号即可。于是(\sqrt{3} - 2)的相反数应该是(2 - \sqrt{3})。
我们刚说(\sqrt{3} - 2)是负值，那么(2 - \sqrt{3})就是正值，所以它的绝对值应该是(2 - \sqrt{3})，你们写对了吗？通过上面三道题练习，我们知道无理数也有相反数、绝对值和倒数，并且计算方式和有理数一样。那么同样可以得到推广，有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然适用。同样，在实数范围内，任何数都能进行开立方运算，只有非负数才可以进行开平方运算。接下来通过一道计算题加深对这段话的理解，一起来看例2，大家先思考一下。
好，现在开始逐一分析第一题，(\sqrt{7} + (-\sqrt{7}))，我们知道互为相反数的两个数和为0，所以(\sqrt{7} + (-\sqrt{7}) = 0)。接着看第二题，(2 + \sqrt{3} - \vert -2\vert)。做这题，首先去绝对值，(\vert -2\vert)是多少呢？它等于2，所以第一步去掉绝对值得到(2 + \sqrt{3} - 2)。接下来发现(2 - 2 = 0)，我们可以利用加法交换律，交换加数位置，这样就能很简单算出结果是(\sqrt{3})。在实际运算过程中，我们发现利用运算律可以简便计算，在实数范围内同样适用。
接着看第三题，(\sqrt{3}×\frac{1}{2}×\sqrt{\frac{1}{3}})。观察发现这里的(\sqrt{3})与(\sqrt{\frac{1}{3}})是互为倒数的两个数，所以可以利用乘法交换律交换乘数位置，这样结果就很容易算出来，等于(\frac{1}{2})。接着看第四题，(\sqrt{5}×2019×\sqrt[3]{9}×0)。大家看到0这个特殊数字就应该开心，因为连乘一组数中只要有一个因数为0，结果就是0，我们称作0乘以任何数仍得0。接着看第5题，(\vert\sqrt{2} - 2\vert - 2)，还是先去掉绝对值，(\sqrt{2} - 2)是正数还是负数呢？我们知道(\sqrt{2})大于1小于2，所以(\sqrt{2} - 2)小于0，负数的绝对值等于它的相反数，去掉绝对值后一定要记得加上括号，再在前面添负号，接下来去掉括号就可以。
等于(-\sqrt{2} + 2 - 2)，观察后面两项会发现( + 2 - 2 = 0)，所以可以利用加法结合律进行运算，最终结果是(-\sqrt{2})。通过上面运算，发现在实数范围内有理数的运算法则和运算律仍然适用，所以大家运算时只需根据以前经验解决就行。这里老师有两个问题问大家，两个无理数的和一定是无理数吗？两个无理数的积一定是无理数吗？结合刚才计算过程想一想，很明显能从刚才5道计算题中找到答案。先看第一个，两个无理数的和一定是无理数吗？答案是不一定，比如(\sqrt{7} + (-\sqrt{7}))，它们的和就是0，0是有理数。像这样的例子还有很多，举一个反例就能推翻它。两个无理数的积一定是无理数吗？答案也是不一定，比如(\sqrt{3}×\sqrt{\frac{1}{3}})，它们是两个无理数，但乘积是有理数。所以大家一定要注意。