师：大家好，这节课我们开始锐角的三角函数第三课时的学习，内容是30度、45度、60度角的三角函数值。上节课，我们已经知道了三种锐角三角函数。如图，在Rt△ABC中，根据锐角三角函数定义，谁能写出∠A的三角函数？
生：正弦sinA等于∠A的对边比斜边，即a/c；余弦cosA等于∠A的邻边比斜边，即b/c；正切tanA等于∠A的对边比邻边，即a/b 。
师：对，在这个知识点的记忆中，同学们要做到脑中有图，心中有数。接下来，观察一副三角尺，其中有几个锐角，它们分别等于多少度？
生：一副三角尺中有四个锐角，分别是30度、60度、45度。
师：非常好，那你们能求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值吗？我们先研究30度、60度的直角三角形。在直角三角形中，30度角所对的直角边和斜边有什么关系？
生：在直角三角形中，30度角所对的直角边是斜边的一半。
师：没错，如图，若设30度角所对的直角边是a，那么斜边长为2a。根据勾股定理，可求得60度角所对的直角边为$\sqrt{(2a)^{2}-a^{2}}=\sqrt{3}a$。由锐角三角函数定义，就能求出30度、60度的三角函数值。所以在直角三角形中，sin30度等于30度角的对边比斜边，即a/2a = 1/2；cos30度等于30度角的邻边比斜边，即$\sqrt{3}a$ / 2a = $\frac{\sqrt{3}}{2}$；tan30度等于30度角的对边比邻边，即a / $\sqrt{3}a$ = $\frac{\sqrt{3}}{3}$。sin60度等于60度角的对边比斜边，即$\sqrt{3}a$ / 2a = $\frac{\sqrt{3}}{2}$；cos60度等于60度角的邻边比斜边，即a / 2a = 1/2；tan60度等于60度角的对边比邻边，即$\sqrt{3}a$ / a = $\sqrt{3}$。我们继续研究45度的等腰直角三角形，在等腰直角三角形中，三边长有什么样特殊的数量关系呢？
生：在等腰直角三角形中，若设两条直角边长为a，则根据勾股定理，斜边长为$\sqrt{a^{2}+a^{2}}=\sqrt{2}a$。
师：很好，由三角函数定义，可求出45度角的三角函数值。所以在直角三角形中，sin45度等于45度角的对边比斜边，即a / $\sqrt{2}a$ = $\frac{\sqrt{2}}{2}$；cos45度等于45度角的邻边比斜边，同样是a / $\sqrt{2}a$ = $\frac{\sqrt{2}}{2}$；tan45度等于45度角的对边比邻边，即a / a = 1。于是，我们就得到了特殊角的三角函数值。在这里，给大家介绍两种记忆方法。一是口诀法：“一二三，三二一，三九二十七，弦比二，切比三，分子根号别忘添”。第二种方法是画图，根据30度、60度的直角三角形，45度的等腰直角三角形的三条边之间的数量关系和锐角三角函数的定义来记忆。这张表有两个用处，一是能清楚看到30度、45度、60度角的三角函数值，二是根据特殊三角函数值可以求出对应的角度。从上面的结论不难发现，sin30度 = cos60度，sin60度 = cos30度，sin45度 = cos45度。这些角的正弦值等于它们余角的余弦值，大家能说明理由吗？
生：在直角三角形中，若一个锐角确定，那么这个角的对边与邻边、对边与斜边、邻边与斜边的比值也随之确定，与直角三角形的大小无关。
师：没错，如图，根据锐角三角函数定义，我们可以得到sinA = a/c，cosA = b/c，sinB = b/c，cosB = a/c。所以sinA = cosB，cosA = sinB。因为∠A + ∠B = 90°，所以∠B = 90° - ∠A，即sinA = cosB = cos(90° - ∠A)，cosA = sinB = sin(90° - ∠A) 。用文字叙述这个结论就是：任意一个锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，或者任意一个锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。用几何语言表示为：因为∠A + ∠B = 90°，所以sinA = cosB，cosA = sinB。接下来，我们共同学习几个例题。
例一，求下列各式的值。本题要求大家熟记30度、45度、60度这些特殊角的三角函数值，把相应的值代入到算式中计算即可。第一小题，2sin60° + 3tan30° + tan45° = 2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$ + 3×$\frac{\sqrt{3}}{3}$ + 1 = $\sqrt{3}$ + $\sqrt{3}$ + 1 = 2$\sqrt{3}$ + 1 。第2小题，$cos^{2}45° + tan60°×cos30°$ = ($\frac{\sqrt{2}}{2}$)2 + $\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = 2 。第三小题，分子是sin60° - tan45°，分母是tan60° - 2tan45°，它等于$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}-1}{\sqrt{3}-2×1}$ = $\frac{\sqrt{3}-2}{2(\sqrt{3}-2)}$ = $\frac{1}{2}$ 。本题中的第2小题要注意$cos45°$的书写形式。我们继续看例二，在△ABC中，∠C = 90°，若sinA = 1/3，求cosB的值。
生：在Rt△ABC中，∠A与∠B互余，所以cosB = sinA = 1/3 。
师：对，注意本题的解答，利用互余两角的正弦和余弦之间的关系，可快速解决问题。但要注意，该结果只对互余的两个角成立。我们再来看例3，已知∠A是锐角，若cosA = sin50°，求∠A的度数。
生：因为∠A的余弦值等于50度角的正弦值，所以∠A与50度角互余，即∠A = 90° - 50° = 40° 。
师：非常好。我们继续看例4，在△ABC中，∠A、∠B都是锐角，若|sinA - $\frac{\sqrt{2}}{2}$| + ($\frac{\sqrt{3}}{2}$ - cosB)2 = 0，求∠C的度数。大家思考一下，该怎么解？
生：因为|sinA - $\frac{\sqrt{2}}{2}$|为非负数，($\frac{\sqrt{3}}{2}$ - cosB)2也为非负数，即|sinA - $\frac{\sqrt{2}}{2}$| ≥ 0，($\frac{\sqrt{3}}{2}$ - cosB)2 ≥ 0，并且|sinA - $\frac{\sqrt{2}}{2}$| + ($\frac{\sqrt{3}}{2}$ - cosB)2 = 0，所以本题属于非负数加非负数等于0的问题。只有当sinA - $\frac{\sqrt{2}}{2}$ = 0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$ - cosB = 0时，条件才能成立，从而得到sinA = $\frac{\sqrt{2}}{2}$，cosB = $\frac{\sqrt{3}}{2}$。所以∠A = 45°，∠B = 30°。在△ABC中，根据三角形内角和等于180°，从而求得∠C = 180° - ∠A - ∠B = 180° - 45° - 30° = 105° 。
师：很好。我们再来看例5，在Rt△ABC中，∠C = 90°，a、b、c分别表示Rt△ABC中∠A、∠B、∠C的对边。第一小题求tanA、tanB；第2小题观察一中的计算结果，能发现tanA与tanB之间有什么关系吗？第3小题应用，已知tanα = 2，求tan(90° - α)；计算cos45°×tan65°×tan25° 。第一小题谁来回答？
生：在Rt△ABC中，∠C = 90°，根据锐角三角函数定义，可得tanA = ∠A的对边比邻边 = BC/AC = a/b，tanB = ∠B的对边比邻边 = AC/BC = b/a 。
师：对，再看第2小题。
生：由一可知，tanA × tanB = $\frac{a}{b}$ × $\frac{b}{a}$ = 1。因为∠A、∠B是直角三角形ABC中的两个锐角，所以∠A与∠B互余，从而可以归纳出结论：互余的两个锐角的正切值的乘积为1 。
师：非常好。最后看第3小题。
生：第一问，根据第2小题得出的结论，互余的两个锐角的正切值的乘积为1，因为tanα = 2，所以tan(90° - α) = $\frac{1}{tanα}$ = $\frac{1}{2}$。第二小题求cos45°×tan65°×tan25°的值。因为cos45° = $\frac{\sqrt{2}}{2}$，又因为65度与25度互余，根据互余的两个锐角的正切值的乘积为1，所以tan65°×tan25° = 1。所以cos45°×tan65°×tan25° = $\frac{\sqrt{2}}{2}$×1 = $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。