师：同学们，大家好。在上一节，我们学习了平行线的判定，下面一起来回顾并回答问题。
问题一，如何用同位角、内错角、同旁内角来判定两条直线是否平行？
生：同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，都可以判定两直线平行。
师：非常好，这三种方法都是利用角的数量关系来判定直线平行的。那第二个问题，利用同位角相等，或者内错角相等，或者同旁内角互补，可以判定两直线平行。反过来，如果已知两条直线平行，那么同位角、内错角、同旁内角各有什么关系呢？这就是我们今天要学习的内容。
平行线的性质研究的是，在已知两条直线平行的条件下，同位角、内错角、同旁内角的关系。下面我们分别来看，类似于上一节研究平行线的判定，我们先来研究同位角。请同学们和老师一起来看这样的探究：用直尺和三角板画两条平行线(a\parallel b)，截线(c)与这两条平行线相交。度量所形成的(8)个角的度数，把结果填入下表。角(1)到角(8)中哪些是同位角？这些同位角的度数有什么关系？由此猜想，两条平行线被第三条直线截得的同位角有什么关系呢？接下来我们要做的第一步，就是画平行线、画截线，构造三线八角；第二步，度量这(8)个角的度数；第三步，依据同位角的度数，猜想两直线平行时同位角的关系。
好，下面我们来进行第一步，用直尺和三角板画平行线，同学们还记得怎么画吗？简单地说就是一放、二靠、三移、四画线。首先画一条直线，将三角板的一边放在直线上，紧靠三角板的另一边放一个直尺，将三角板沿着直尺移动，沿着三角板的另一边画平行线。好，这样平行线就画好了。下面画截线，构造三线八角。好，请同学们找一找，从角(1)到角(8)中哪些是同位角呢？
生：三线八角有(4)对同位角，由图可知，角(1)与角(5)、角(2)与角(6)、角(3)与角(7)、角(4)与角(8)是同位角。
师：很好。那么接下来的第二步就是度量这些同位角的度数。我想问问同学们，我们需要度量这里的每一对同位角吗？
生：不需要。
师：非常好，下面我们一起来分析。由图形可知，角(1)与角(3)是对顶角，角(5)与角(7)是对顶角，对顶角相等，因此这两对同位角只需要度量一对即可。同样的道理，角(2)与角(4)是对顶角，角(6)与角(8)是对顶角，所以这两对同位角也只需要度量一对。剩下还有两对同位角，我们发现角(1)与角(4)是邻补角，角(5)与角(8)是邻补角，邻补角互补，因此这两对同位角也只需要度量一对，另一对也就知道了。
好，下面我们来度量一对同位角，角(1)和角(5)的度数。首先度量角(1)的度数是(65)度，再度量角(5)的度数，角(5)的度数也是(65)度。由此我们发现，直线(a)与(b)平行的时候，角(1)等于角(5)。那么角(1)与角(5)这一对同位角相等了，其他的三对同位角也相等吗？
生：相等。因为有对顶角相等、邻补角互补，等角的补角也相等，所以其他三对也是分别相等的。
师：非常棒，由此我们就得到这样的猜想：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。注意，这里的同位角不是特指某一对，而是指每一对分别相等。那么如果我现在改变截线的位置，上面的猜想还成立吗？请同学们看老师的演示。
（老师演示改变截线位置）
师：图中的角(1)和角(5)是平行线(a)、(b)被截线(c)所截得的同位角。现在我改变截线(c)的位置，请同学们观察图中同位角(1)和角(5)的变化。同学们发现了什么？
生：改变截线(c)位置，角(1)与角(5)的度数也会随之改变，但是无论怎么变，角(1)总是等于角(5)。
师：由此，我们可以得到这样的结论：两直线平行时，同位角相等，和截线的位置无关。由此我们就得到了平行线的第一条性质：平行线的性质一，两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。同学们，对于性质一的证明，今天我们还不能给出，这要等到以后我们学完反证法才能给出严谨的推理证明。性质一也可以简单地说成：两直线平行，同位角相等。请同学们注意它的应用格式，也就是它的数学语言。下面我们对照图形一起来写。
条件是两直线平行，也就是图中的(a)与(b)平行，因为(a\parallel b)（已知），结论是同位角相等，也就是图中的角(1)与角(2)相等，所以(\angle1 = \angle2)，理由是两直线平行，同位角相等。
对于重要的东西，我们总是强调得更多一些，请同学们再次体会性质一，来回答下面的问题。第一个问题，性质一的条件是什么？结论是什么？
生：条件是两直线平行，结论是同位角相等。
师：第二个问题，它和我们前面学过的平行线判定方法一“同位角相等，两直线平行”有什么区别与联系呢？请同学们来看这两句话。
生：条件和结论正好相反。平行线的判定一是通过同位角相等来判定两直线平行，而平行线的性质一则是以两直线平行为条件得到同位角相等。
师：非常好，请同学们要注意区分。既然有两条直线平行可以得到同位角相等，那么有的同学可能会想了，那两直线平行，内错角、同旁内角又有什么关系呢？好，请同学们思考这样的问题，如图，你能用性质一推出平行线有关内错角(2)与角(3)的关系吗？这个问题的意思是，在两条直线(a\parallel b)的条件下，用性质一推出角(2)与角(3)的关系。
生：思考中……
师：下面我们一起来分析。我们刚刚得到了性质一，性质一的内容是两直线平行，同位角相等，所以我们由(a\parallel b)，就可以得到图中的角(1)等于角(2)。而与此同时，角(1)与角(3)又是对顶角，对顶角相等，所以角(1)又等于角(3)，由此可得角(2)就等于角(3)。下面我们来看具体的推导过程。
因为(a\parallel b)（已知），所以(\angle1 = \angle2)，理由是两直线平行，同位角相等。又因为(\angle1 = \angle3)，理由是对顶角相等，所以(\angle2 = \angle3)（等量代换）。好，这样我们就得到了这样的结论，如图，有(a\parallel b)，可以推出图中的内错角(2)等于角(3)。
好，下面我想问同学们，三线八角有几对内错角呢？
生：两对。
师：这一对是相等了，那另一对呢？也相等吗？下面和老师一起来分析这个问题。首先我们要在图中把另一对内错角找到，我们用角(4)和角(5)来表示。我们发现角(4)与角(3)是邻补角，角(5)与角(2)是邻补角，邻补角互补，而此时角(3)和角(2)是相等的。由我们上学期学的等角的补角相等原理，我们可以发现角(4)也是等于角(5)的。由此我们可知平行线的第二条性质：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。请同学们注意，这里的内错角不是特指某一对，而是指每一对分别相等。性质二也可以简单地说成：两直线平行，内错角相等。同样请同学们注意它的应用格式，也就是它的数学语言。
下面我们对照图形一起来写，条件是两直线平行，也就是图中的(a)与(b)平行，因为(a\parallel b)（已知），结论是内错角相等，也就是图中的角(2)与角(3)相等，所以(\angle2 = \angle3)，理由是两直线平行，内错角相等。
好了，既然有两条平行线也可以得到内错角的关系，那么同旁内角呢？好，请同学们思考下面一个问题，如图，你能用性质一推出平行线有关同旁内角(2)与角(4)的关系吗？这个问题的意思是，在已知(a\parallel b)的条件下，我们用性质一来找角(2)与角(4)的关系。
生：思考中……
师：下面我们一起来分析。性质一的内容是两直线平行，同位角相等，因此我们需要在图中找到一对同位角。那么下面我们可以找角(1)和角(2)，由(a\parallel b)可以得到角(1)等于角(2)。而与此同时我们发现角(1)与角(4)是邻补角，邻补角互补，因此角(2)与角(4)也互补。下面我们一起来看推导过程。
从条件(a\parallel b)出发，因为(a\parallel b)（已知），所以(\angle1 = \angle2)，理由是两直线平行，同位角相等。又因为(\angle1 + \angle4 = 180^{\circ})，理由是邻补角的定义，所以(\angle2 + \angle4 = 180^{\circ})（等量代换）。好了，由此我们就得到这样的结论，如图，在(a\parallel b)的条件下，同旁内角(2 + \angle4 = 180^{\circ})。
同学们都知道三线八角有两对同旁内角，那么这一对是互补的，那另外一对也互补吗？下面我们一起来看。首先我们需要在图中将另一对同旁内角标记出来，我们用角(3)和角(5)来表示。我们发现角(3)与角(2)是内错角，角(5)与角(4)是内错角，由两直线平行，内错角相等，所以(\angle3 = \angle2)，(\angle5 = \angle4)。又因为我们刚刚已经得出(\angle2 + \angle4 = 180^{\circ})，所以(\angle3 + \angle5 = 180^{\circ})，这样我们就可以得到平行线的第三条性质：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。请同学们注意，这里的同旁内角不是特指某一对，而是指每一对。性质三也可以简单地说成：两直线平行，同旁内角互补。同样请同学们注意它的应用格式，也就是它的数学语言。