师：同学们大家好，今天我们一起来复习高中数学北师大版选修1 - 2第一章第一节回归分析的内容。回归分析是新课程教材新增内容，目的是通过介绍这一统计方法，让大家体会其在解决实际问题中的基本思想，认识它在实际问题中做出预报的作用。这部分考察更注重对回归分析基本思想的理解，计算一般不会太复杂。
我们先看学习目标：一是理解用散点图判断变量之间的线性相关关系，会用相关系数刻画变量之间线性相关程度，能用最小二乘法建立变量之间的线性回归方程；二是学会将非线性回归问题转化为线性回归问题来解决，转化时要熟悉几种常见的函数拟合模型，理解非线性方程与线性方程变量间的关系；三是通过对典型案例的探究，体会回归分析在生产实践和日常生活中的广泛应用。
下面我们梳理一下这部分内容。首先是变量间的相关关系，两个变量的关系有三类：不相关、函数关系、相关关系。其中函数关系是一种确定性的关系，相关关系是一种不确定性的关系。这种不确定性关系又分两类，一类是其中一个变量是可控制变量，另一个是随机变量，比如水稻产量与施肥量，施肥量是可控制变量，水稻产量是随机变量；还有一种情况是两个变量都是随机变量，比如研究某同学物理成绩与数学成绩的关系。相关关系又可分为线性相关和非线性相关。
那什么是线性相关和非线性相关呢？我们可以通过散点图来看。这里有三个散点图，第一个散点图中，散点分布没有规律、杂乱无章，此时两个变量不相关；第二个散点图中，散点大致分布在一条曲线附近，这样的两个变量是非线性相关，可用一条曲线拟合；第三个散点图中，散点大致分布在一条直线附近，这两个变量是线性相关。也就是说，我们可以用散点图直观判断两个变量是否具有相关关系。
接下来是回归分析。什么是回归分析呢？对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法就叫回归分析。这里面还有一些小概念，若散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫回归直线。回归直线方程是用最小二乘法求得的，考试时相关公式会给出，求b时要根据数据情况选择合适公式。
然后是相关系数。通过散点图能直观判断变量相关关系，而相关系数是从数值上定量刻画变量间的线性相关程度，比散点图更精细。相关系数r的表达式已知，其范围在 - 1到1之间，|r| ≤ 1。|r|越接近于1，两个变量线性相关程度越强；|r|越接近于0，线性相关程度越弱。r > 0时，两个变量呈正相关；r < 0时，两个变量呈负相关；r = 0时，两个变量线性不相关。要注意，r的绝对值小，只能说明线性相关程度低，不一定不相关，可能是非线性相关。
再看线性回归分析与可线性化的回归分析。对于回归分析问题，解题时首先要用散点图或相关系数判断变量是否具有线性相关关系。只有线性相关，求解后面的问题才有实际意义，否则求线性回归方程不能反映变量之间的变化规律。回归分析基本步骤为：第一步画散点图，大致判断变量是否线性相关；第二步用相关系数r判断变量是否线性相关；若线性相关，用最小二乘法求线性回归方程，然后利用方程做出预报决策。对于可线性化的回归分析，实际问题中有时两个变量关系并非线性，这就需要根据专业知识或散点图，对某些特殊非线性关系选择适当函数模型，通过变量代换把非线性方程转化为线性回归方程，确定未知参数。具体步骤为：一是画散点图，与学过的函数（幂函数、指数函数、对数函数、二次函数等）比较，选取拟合效果好的函数模型；二是通过变量变换把非线性回归问题转化为线性回归问题；三是分析拟合效果，通过画散点图或计算相关系数判断；四是求出非线性回归方程；五是根据方程做出预测判断。常见的非线性回归模型转化为线性回归模型要熟悉。
下面我们做些练习巩固一下。第一，变量间的相关关系。第一题，下列结论正确的是：一、函数关系是一种确定关系，这显然正确；二、相关关系是一种非确定性关系，这也正确；三、回归分析是对具有函数关系的两个变量进行统计分析的一种方法，这是错误的，回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法，所以这题选C。第二题，对于变量x、y有观测数据(x?, y?)得到散点图一，对于变量U、V有观测数据(U?, V?)得到散点图二。由这两个散点图判断，散点图一中散点从左上角到右下角分布，随着x增大，y有减小趋势，所以x和y成负相关；散点图二中散点从左下角到右上角分布，随着U增大，V有增大趋势，所以U和V成正相关，这题选C。第三题，已知变量x和y满足关系y = - 0.1x + 1，变量y与z是正相关，因为y = - 0.1x + 1中系数为 - 0.1，所以x与y呈负相关，x增大时y减小，又y与z正相关，y减小z也减小，所以x增大时z减小，即x与z也是负相关，这题选A。通过这几题，判断两个变量正负相关性的方式有：一是通过散点图直观判断；二是根据回归方程系数正负判断；三是根据相关系数r判断，r > 0呈正相关，r < 0呈负相关。
看这个问题，高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩、数学成绩与总成绩在全年级中的排名情况如下图所示，甲、乙、丙为该班三位学生。从这次考试成绩看，在甲、乙两人中，语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是？看第一个散点图，甲的总成绩靠前，语文成绩相对靠后；乙的总成绩靠后，语文成绩相对靠前，所以语文成绩名次比其总成绩名次靠前的是乙同学。在语文和数学两个科目中，丙同学成绩名次更靠前的科目是？看散点图，比丙同学数学成绩靠后的同学较多，比丙同学总成绩靠后的同学较少，说明丙同学语文考得不太好，数学更好，所以丙同学成绩名次更靠前的科目是数学。
第二，线性回归分析问题。为了解某社区居民家庭年收入与年支出的关系，随机调查该社区5户家庭，得到如下统计数据表。已知回归直线方程y = bx + a，其中b = 0.76，a = ? - b x?。据此估计，该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为多少？要求年支出，需先求a，根据回归直线过样本中心点，可得a = ? - b x?，算得a = 0.4，所以回归直线方程为y = 0.76x + 0.4。当x = 15时，y = 0.76×15 + 0.4 = 11.8，所以这题选B。
第6题，某厂节能降耗技术改造后，A产品的产量x（T）与相应的生产耗能Y（T）几组对应数据如下表所示。已知y与x的线性回归方程，求表中t的值。不能直接把x = 4代入回归方程求t，因为代入求的值是估计值，t是测量值，两者不一定相同。应根据回归方程过样本中心点(x?, ?)来求。x? = (3 + 4 + 5 + 6)÷4 = 9÷2，? = (2.5 + t + 4.5 + 4)÷4 = (7 + t)÷4。将样本中心点代入回归方程y = 0.7x + 0.35，可得(7 + t)÷4 = 0.7×(9÷2) + 0.35，解得t = 3，选A。这两题都是根据回归直线过样本中心点的性质求解。
再看一个实际问题，下图是我国2011年至2017年生活垃圾无害化处理量的折线图，年份代码1 - 7分别对应年份2011 - 2017。第一，由折线图看出可用线性回归模型拟合y与t的关系，用相关系数加以说明。从散点图看，散点能较好分布在一条直线附近，需计算相关系数看其绝对值是否接近1。第二，建立y关于t的回归方程，并预测2019年我国生活垃圾无害化处理量。考试会给出参考数据和公式，由折线图数据可得t? = 4，根据相关系数公式算得相关系数近似值约为0.99，说明y与t线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合。求回归方程，先求参数b，约为0.1，再求a，约为0.93，所以y关于t的回归方程为y = 0.93 + 0.10t。预测2019年处理量，将t = 9代入回归方程，得y = 1.83。
接下来看第三个可线性化的回归分析问题。某企业新研发一种产品，产品成本由原料成本及非原料成本组成，每件产品的非原料成本y与生产该产品的数量x有关，统计得到如下数据并绘制散点图，观察散点图可知两个变量不具有线性相关关系。现考虑用反比例函数模型y = a + b/x和指数函数模型y = c·e??分别对两个变量关系进行拟合，已知用指数函数模型拟合的回归方程为y = 96.54e??.2?，其中lny与x的相关系数R? = - 0.94。第一问，求用反比例函数模型求y关于x的回归方程。该反比例函数模型是非线性的，令u = 1/x，可转化为y = a + bu的线性模型。求参数a和b，b根据公式b = ∑(u? - ū)(y? - ?) / ∑(u? - ū)2计算，算得b = 100，再根据回归方程过样本中心可得a = ? - b ū，算得a = 11，所以y = 11 + 100u，又u = 1/x，即y = 11 + 100/x。第二问，用相关系数判断上述两个模型哪一个拟合效果更好，并用其估计产量为十千件时每件产品的非原料成本。需计算变量y和u之间的相关系数R?，约为0.99，|R?| > |R?|，说明用反比例函数模型拟合效果更好。当x = 10时，y = 21，即产量为十千件时，每件产品的非原料成本是21。通过这题可知，可线性化的回归分析问题要转化为线性化的回归分析问题。
课堂小结：通过本节课学习，我们回顾了回归分析相关知识，了解其基本思想，并通过练习加深了对回归分析相关知识的理解。作业是教材15页，习题1 - 1。同学们再见。