师：亲爱的同学们，大家好！今天这节课，我们继续学习一元二次方程的根与系数的关系。首先，回顾一下上节课内容。同学们，还记得一元二次方程根与系数有什么关系吗？
生：如果把一元二次方程的两个根记作(X_1)和(X_2)，那么(X_1 + X_2 = -\frac{b}{a})，(X_1×X_2 = \frac{c}{a})。
师：很好！大家要记住，这里(X_1 + X_2 = -\frac{b}{a})，别把负号弄丢了。这就是上节课所学的韦达定理。运用韦达定理解决问题时，需要注意什么呢？
生：要把一元二次方程化成一般形式，这样才能准确找到(a)、(b)，同时不能忘记韦达定理的前提条件是一元二次方程有根，所以使用时要注意(\Delta\geq0)。
师：非常棒！今天这节课，我们将应用韦达定理解决更多问题。来看例一，已知关于(x)的方程(2x2 + Kx - 4 = 0)的一个根是(-4)，求它的另一个根及(k)的值。分析题目已知条件，已知方程的一个根，有同学想到了什么方法？
生：可以根据方程根的定义，把已知根回代原方程，从而求出(k)的值。
师：那方程的另一个根怎么求呢？
生：当知道(k)的值，一元二次方程(2x2 + Kx - 4 = 0)的各项系数就确定了，根也就确定了，把(k)的值代回原方程，就能求出另一个根。
师：我们整理一下这种方法的思路，首先把(x = -4)代入原方程，求出(k)的值，再把求出的(k)值代回原方程，求出另一个根。那这道题还有其他方法吗？
生：上节课用韦达定理解决根与系数相关问题很方便，这道题也能用韦达定理。
师：来看这个方程(2x2 + Kx - 4 = 0)，其中二次项系数(a = 2)，一次项系数(b = k)，常数项(c = -4)。知道(a)和(c)，意味着能知道什么？
生：能知道方程两根之积，(X_1×X_2 = \frac{-4}{2} = -2)。
师：另一个已知条件是一个根是(-4)，已知两根之积是(-2)，那另一个根是多少？
生：(-2÷(-4) = \frac{1}{2})。
师：那(k)的值怎么求呢？(k)是一次项系数，也就是(b)的值，一次项系数(b)与什么有关系？
生：在韦达定理中，两根之和等于(-\frac{b}{a})。
师：我们来试一试，根之和是(-4 + \frac{1}{2})，就等于(-\frac{k}{2})，从而可以求出(k)的值。我们整理一下第二种方法，设方程的另一个根为(X_2)。根据韦达定理，(X_1 + X_2 = -\frac{b}{a})，即(-4 + X_2 = -\frac{k}{2})；(X_1×X_2 = \frac{c}{a})，即(-4×X_2 = \frac{-4}{2})。先解方程(-4×X_2 = \frac{-4}{2})，得到(X_2 = \frac{1}{2})，代入(-4 + X_2 = -\frac{k}{2})，求出(k = 7)。所以方程的另一个根是(\frac{1}{2})，(k)的值是(7)。同学们，比较一下这两种方法，哪种更简便？
生：用韦达定理解决一元二次方程根与系数相关问题更便捷。
师：来看例2，已知方程(2x2 - 3x + 1 = 0)的两个根记作(X_1)，(X_2)。不解方程，求下列各式的值。观察下面四个代数式，有什么共同特征？
生：都与(X_1)和(X_2)有关。
师：求关于(X_1)和(X_2)的代数式的值，有哪些方法？
生：一种是直接代入，另一种是把代数式变形，将其中一部分作为整体代入求值。这道题用第二种方法。
师：以谁作为整体，如何代入求值呢？先看第一个问题，求((X_1 + 1)(X_2 + 1))，把它展开得到(X_1×X_2 + X_1 + X_2 + 1)。展开后的式子有什么发现？
生：如果能求出两根之积和两根之和，代数式的值就能求出来。
师：所以这道题和什么有关？
生：和韦达定理有关。
师：利用韦达定理求出两根之和与两根之积，(X_1 + X_2 = -\frac{-3}{2} = \frac{3}{2})，(X_1×X_2 = \frac{1}{2})。把(X_1×X_2 = \frac{1}{2})，(X_1 + X_2 = \frac{3}{2})代入展开式，得到(\frac{1}{2} + \frac{3}{2} + 1 = 3)。由这道题可知，要求与根有关代数式的值，需要把代数式转化成用两根之和与两根之积来表示，然后用韦达定理求出两根之和与两根之积代入求值。那第二道题怎么把它转化成两根之和与两根之积呢？
生：对它进行通分，得到(\frac{X_1 + X_2}{X_1×X_2})，把(X_1 + X_2 = \frac{3}{2})，(X_1×X_2 = \frac{1}{2})代入，得到(\frac{3}{2}÷\frac{1}{2} = 3)。
师：看第三个小问，如何求(X_12 + X_22)？前面两道题都转化成和与积的形式，这里有平方，怎么转化呢？
生：可以用完全平方公式，((X_1 + X_2)2 = X_12 + X_22 + 2X_1X_2)，那么(X_12 + X_22 = (X_1 + X_2)2 - 2X_1X_2)。把两根之和(\frac{3}{2})，两根之积(\frac{1}{2})代入，得到((\frac{3}{2})2 - 2×\frac{1}{2} = \frac{9}{4} - 1 = \frac{5}{4})。
师：再看第4小题，如何求(X_1 - X_2)？已知两根的和与积，要求两根的差，有思路吗？
生：第三小问用到完全平方公式，有和的平方与差的平方，可以先求((X_1 - X_2)2)。((X_1 - X_2)2 = X_12 + X_22 - 2X_1X_2)，第三小题已求出(X_12 + X_22 = \frac{5}{4})，代入可得(\frac{5}{4} - 2×\frac{1}{2} = \frac{1}{4})。求出两根差的平方，对(\frac{1}{4})开方，(X_1 - X_2 = ±\frac{1}{2})，不要漏掉正负号。