师：同学们，大家好。通过前面对三角形外接圆的学习，我们知道圆和三角形有着十分密切的联系。现在，我们一起来回顾一下如何作一个三角形的外接圆。以三角形ABC为例，分别作线段AB、BC的垂直平分线，设它们交于点O，连接OA，以点O为圆心，OA为半径作圆。如图，圆O就是三角形ABC的外接圆，三角形ABC是圆O的内接三角形，点O是三角形ABC的外心。
师：大家还记得三角形的外心具有怎样的性质吗？
生：三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形三个顶点的距离相等。
师：非常好。今天，我们还有一个圆和三角形的问题需要大家解决。请同学们准备好笔、草稿纸、三角尺、圆规等学习用品，和老师一起学习今天的新课内容——三角形的内切圆。小明在一家木料厂上班，工作之余想对厂里的三角形废料进行加工，裁下一块圆形用料。怎样才能使裁下的圆的面积最大呢？圆的面积最大也就是圆最大，我们可以把这块三角形木料近似地看作一个三角形ABC。也就是说，在三角形ABC中怎样裁下一个最大的圆？大家觉得应该是什么样的呢？这个圆与三角形的三边有怎样的位置关系呢？我们一起来探究。先看，这个圆与三角形的三边有怎样的位置关系？与三边都相抵，这个圆是三角形中最大的圆吗？
生：不是。
师：这个圆与三角形的三边又有怎样的位置关系呢？只有一边相切，它是最大的圆吗？
生：不是。
师：这个圆只有两边相切，显然它也不是最大的圆。那大家觉得若要使裁下的圆最大，它与三角形的三边会有怎样的位置关系呢？
生：与三边都相切。
师：这个猜想对不对呢？这个圆与三角形的三边都相切时，为什么这个圆就是最大的呢？如果圆再大一点会怎样？
生：再大一点圆和三角形的三边会相交，这时圆不全在三角形的内部，与题意不相符。
师：现在我们知道与三角形三边都相切的圆将是这个三角形中最大的圆，那么如何作出这个圆呢？继续来探究。作一个圆首先需要确定什么条件？
生：确定圆心和半径。
师：怎样确定圆心的位置呢？假设这个圆已经作出，那么圆心的位置会有什么特点呢？这个圆与三角形的三边都相切，三边应该各有一个切点。由切线的性质可知，OD、OE、OF分别为垂直于三边的半径。所以点O到三角形三边的距离相等，也就是说点O是三角形三条角平分线的交点。因此，作两条角平分线，其交点就是圆心。确定了圆心的位置后，又该如何确定圆的半径呢？
生：在刚刚的分析中，我们已经知道OD、OE、OF都为垂直于三边的半径，因此过圆心作三角形一边的垂线段，垂线段的长就是半径的长。
师：下面我们一起来操作一下。求作一个圆，使它和已知三角形的三边都相切。请同学们拿出已经准备好的三角尺、圆规开始作图。先在草稿纸上任意作一个三角形ABC，写出已知、求作。已知三角形ABC，求作与三角形ABC三边都相切的圆。做法：一、分别作三角形ABC的角B、角C平分线BE、CF，设它们交于点O；二、过点O作OD垂直于BC于点D；三、以点O为圆心，OD为半径作圆O，则圆O即为所作。我们通过一段小视频，再看一下具体的作图过程。你们做好了吗？我们把这种与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。如图，圆O是三角形ABC的内切圆，三角形ABC是圆O的外切三角形，点O是三角形ABC的内心。请思考，一个三角形有几个内切圆？
生：对任意三角形有且只有一个内切圆，因为三角形的三条角平分线的交点只有一个，这个点到三边的距离也是定长。
师：一个圆又有几个外切三角形呢？同学们动手画一画，能做出几个？
生：过圆上任意一点都可作圆的切线，任意三条不平行的切线，两两相交所形成的三角形都是圆的外切三角形。所以一个圆有无数个外切三角形。
师：三角形的内心又有怎样的性质呢？
生：三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，它到三角形三边的距离相等。
师：现在我们知道了三角形既有外接圆，又有内切圆，请同学们根据图形填一填。如图，三角形ABC顶点在圆O上，三角形ABC各边与圆I都相切。先观察三角形ABC和圆I的位置。
生：三角形ABC是圆I的外切三角形，圆I是三角形ABC的内切圆，点I是三角形ABC的内心。
师：再观察三角形ABC与圆O的位置。
生：三角形ABC是圆O的内接三角形，圆O叫三角形ABC的外接圆，点O是三角形ABC的外心。
师：对三角形内切圆的知识我们已经有了初步的了解，大家能应用今天所学的知识来解决数学问题吗？我们一起来试一试。三角形ABC中，角A等于76度，点I是三角形ABC内心，求角BIC的度数。先分析一下，求角BIC，可以先求角IBC加角ICB。为了书写方便，我们可以把角IBC和角ICB分别用角1和角2来表示。题中点I是三角形ABC内心，说明BI平分角ABC，CI平分角ACB。所以角1等于1/2角ABC，角2等于1/2角ACB，角1加角2就等于1/2（角ABC + 角ACB），则角1 + 角2 = 1/2（180度 - 角A）。将角A的度数代入，我们很快就能求出答案。下面我们一起把解题过程规范地书写一下。
解：因为点I是三角形ABC内心，所以IB、IC分别是角ABC、角ACB的平分线。所以角1等于1/2角ABC，角2等于1/2角ACB。所以角1 + 角2 = 1/2（角ABC + 角ACB） = 1/2（180度 - 角A） = 52度。在三角形IBC中，角BIC = 180度 - （角1 + 角2） = 128度。