师：同学们大家好，欢迎走进数学课堂。本节课我将带领大家继续探究一元二次不等式的解法。首先，我们一起来回顾上一节的知识内容。什么是一元二次不等式呢？一元二次不等式是指含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的不等式。它的一般形式是(ax2 + bx + c＞0)或(ax2 + bx + c≥0)，或者(ax2 + bx + c＜0)或(ax2 + bx + c≤0)。
那什么是一元二次不等式的解呢？一般来说，使某个一元二次不等式成立的值，叫做这个一元二次不等式的解，一元二次不等式所有解的集合叫做这个一元二次不等式的解集。
在明确了上述概念之后，怎么求解一元二次不等式呢？上节课我们讲到了当(a＞0)时，一元二次不等式的解法。首先确定一元二次方程(ax2 + bx + c = 0)的解；其次，画出一元二次函数(y = ax2 + bx + c)的图像；接着，利用图像找出一元二次不等式的解集，简记为“求根、画图、找解”。
我们上节课还研究了一元二次方程、一元二次函数、一元二次不等式三者之间的联系。当(\Delta＞0)时，一元二次方程有两个相异的实根，所以它所对应的一元二次函数与(x)轴有两个不同的交点。观察图像可知，当(x)取在(x?)左侧或者(x?)右侧时，二次函数值为正；当(x)取在(x?)和(x?)之间时，二次函数值为负。所以一元二次不等式大于(0)的解集是(x＞x?)或者(x＜x?)，一元二次不等式小于(0)的解集是(x?＜x＜x?)。
当(\Delta = 0)时，一元二次方程有两个相等的实根，此时它所对应的二次函数与(x)轴只有一个交点。由图像可知，一元二次不等式大于(0)的解是(x≠ - \frac{b}{2a})，小于(0)的解集是空集。
当(\Delta＜0)时，一元二次方程没有实根，所以它所对应的二次函数图像与(x)轴没有交点，那么此时一元二次不等式大于(0)的解是全体实数，一元二次不等式小于(0)的解集是空集。
上节课我们研究了当(a＞0)时一元二次不等式的解法，那么对于(a＜0)时，一元二次不等式怎么求解呢？它求解的过程和方法与(a＞0)时求解的过程和方法有什么区别和联系呢？本节课我们就继续探究这个问题。请同学们看例一：解不等式(-2x2 + x + 1＜0)。
在解决问题之前，我们首先要思考能解决哪类问题。我们可以求解当二次项系数大于(0)时的一元二次不等式，那能不能把不等式当中的(-2)转化成正数呢？可以把不等式两边同时乘以(-1)，于是原不等式就转化成(2x2 - x - 1＞0)。接着用“求根、作图、找解”这三步，就可以把这个一元二次不等式求解出来了。
它的基本步骤是：首先，在不等式两边同乘(-1)，得到(2x2 - x - 1＞0)；接着，求解方程(2x2 - x - 1 = 0)的根，得到(x? = - \frac{1}{2})，(x? = 1)；然后，通过两根做出二次函数的图像简图。观察图像可知，当(x＜ - \frac{1}{2})或者(x＞1)时，二次函数值为正，所以原不等式的解集为(x＜ - \frac{1}{2})或(x＞1)。
在这个解题过程当中，有一步很关键，就是把二次项系数化为正数，把本来我们不熟知的(a＜0)的二次不等式转化成我们熟知的(a＞0)时的二次不等式。可见知识的转化非常重要。
那同学们，如果不改变二次项系数，直接求解这个二次不等式能不能做呢？请看解法2：直接求解方程(-2x2 + x + 1 = 0)的解，得到(x? = - \frac{1}{2})，(x? = 1)，接着做出函数(y = -2x2 + x + 1)的图像简图。此时请同学们注意，这个二次函数图像开口是向下的。所以观察图像可知，当(x＜ - \frac{1}{2})或者(x＞1)时，二次函数值为负，所以原不等式的解集就得到了，与第一种解法得到的结果一致。
一个不等式问题，我们用到了两种解法，那这两种解法之间有什么区别和联系？请同学们思考。
首先谈一下区别：两种解法所用到的二次函数图像，一个开口向上，一个开口向下。其次，虽然两种解法都用到了“求根、画图、找解”这三步，但是第一种解法在求根之前多做了一步处理，把二次项系数化为正数，我把它称作是“化正”，所以从步骤的角度，两种解法也有一定的区别。
再来谈一谈联系：两种解法都是从图形的角度研究不等式问题，用形的角度研究数的问题，这是我们数学当中一个非常重要的数学思想，就是动静结合、数形统一的数形结合思想。
同学们，你们习惯用哪种解法解决问题呢？我们一般解决类似(a＜0)的二次不等式的时候，首先要化正，其次求根，接着画图，最后找解。当然大家也不要拘泥于形式，要注重解一元二次不等式的本质，它的本质是用图形研究不等式问题，也就是数形结合。
我们再来总结一下，对于(a＜0)的一元二次不等式，首先要把它化成(a＞0)的形式；接着解出相应的方程；然后画出相应函数的图像；通过图像找出一元二次不等式的解；最后写出它的解集，简记为“化正、求根、画图、找解”这四步。
为了巩固本节课所学的知识，请同学们做两道练习题，解下列不等式：第一题，(-x2 + 3x - 1≥0)；第二题，(-x2 + 4x - 4＞0)。
同学们，这两题求解出来了吗？我们首先看一下第一题。首先在不等式两边同乘(-1)可得(x2 - 3x + 1≤0)。接着求解方程(x2 - 3x + 1 = 0)。既然讲到解二次方程，请同学们思考，你有哪些角度研究一元二次方程呢？我们可以通过因式分解，其实质就是把一元二次方程转化成一元一次方程进行研究，起到降幂的作用。当然也可以利用配方求解这个一元二次方程，还可以利用求根公式。本题可以利用求根公式，求解方程的两根为(x? = \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2})，(x? = \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2})。再做出二次函数图像，观察图像可以得到一元二次不等式的解集为(\frac{3}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}≤x≤\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2})。