师：同学们，大家好！今天我们继续学习第六章实数的第一节平方根的第二课时。首先，对上一节课的内容进行简单复习。大家还记得什么是算术平方根吗？一般来说，如果一个正数(x)的平方等于(a)，那么这个正数(x)就叫做(a)的算术平方根。特别规定，(0)的算术平方根是(0)。老师看电视剧时发现一个有趣画面并截图了，画面里有趣的地方是电视剧放到了根号(169)，它表示(169)的算术平方根，值等于(13)，所以这是电视剧的第(13)集。那负数有没有算术平方根呢？
生：负数没有算术平方根。
师：在上一节课，老师留了个课后思考。小欧做剪贴画时，把两个面积为(1)平方分米的小正方形拼成如图的大正方形，大正方形面积是(2)平方分米。小正方形边长是它面积的算术平方根，很容易得出边长为(1)。大正方形客观存在，面积为(2)平方分米，它的边长是多少呢？我们设大正方形边长为(x)分米，由正方形面积公式可知(x^{2}=2)，(x)可表示为(\sqrt{2})，那(\sqrt{2})究竟有多大呢？首先思考，(\sqrt{2})是不是整数？
生：因为(1^{2}=1)，(2^{2}=4)，(3^{2})更大了，而((\sqrt{2})^{2}=2)，所以(\sqrt{2})不是整数。
师：对，那它应该是小数。(\sqrt{2})在哪两个相邻整数之间呢？
生：已知(1^{2}=1)，(2^{2}=4)，(2)大于(1)小于(4)。根据被开方数越大，算术平方根越大，所以(\sqrt{2})大于(\sqrt{1})，小于(\sqrt{4})，(\sqrt{1}=1)，(\sqrt{4}=2)，所以(\sqrt{2})的值在(1)和(2)这两个相邻整数之间。
师：(\sqrt{2})是一点几呢？按照刚才的方法，能不能进一步得到(\sqrt{2})更精确的近似值？如果计算量较大，可以借助计算器。老师算出(1.1^{2}=1.21)，(1.2^{2}=1.44)，(1.3^{2}=1.69)，(1.4^{2}=1.96)，(1.5^{2}=2.25)，(1.6^{2}=2.56)。老师没继续算，因为发现(1.4^{2}=1.96)，(1.5^{2}=2.25)，(1.4)是平方比(2)小且最接近(2)的一位小数，(1.5)是平方比(2)大且最接近(2)的一位小数。所以(\sqrt{2})的值在(1.4)和(1.5)之间。按照这种方法，能继续得到(\sqrt{2})更准确的近似值吗？
生：(\sqrt{2})大于(1.4)小于(1.5)。
师：(\sqrt{2})究竟是一点四几呢？我们利用计算器计算出(1.41^{2}=1.9881)，(1.42^{2}=2.0164)，(1.43^{2}=2.0449)。可以发现，(1.41^{2})比(2)小，(1.42^{2})比(2)大。所以(\sqrt{2})大于(\sqrt{1.9881}=1.41)，小于(\sqrt{2.0164}=1.42)，即(\sqrt{2})在(1.41)和(1.42)之间。(\sqrt{2})究竟等于一点四一几呢？请同学们继续用计算器探究。
师：老师算到(1.415^{2})就没继续了，知道为什么吗？
生：因为(1.414^{2}=1.999396\lt2)，(1.415^{2}=2.002225\gt2)，所以(\sqrt{2})大于(\sqrt{1.999396}=1.414)，小于(\sqrt{2.002225}=1.415)。
师：其实还能继续操作得出(\sqrt{2})更准确的近似值。大家看(\sqrt{2})的值，它的位数有限吗？
生：(\sqrt{2})的小数位数是无限的。
师：那它的小数部分有循环吗？
生：小数部分不循环。
师：所以我们把这种小数称为无限不循环小数。还见过哪些这样的数呢？
生：圆周率(\pi)。
师：对，(\pi)也是无限不循环小数。其实除了(\sqrt{2})，很多有理数的算术平方根都是无限不循环小数，像(\sqrt{3})、(\sqrt{5})、(\sqrt{7})等等。刚才借助计算器帮我们完成了复杂计算，计算器除了能算乘法和乘方，还有个根号键，能计算正有理数的算术平方根或其近似值。比如计算(\sqrt{3136})，依次按根号键、(3136)、等号，计算器显示(56)，这就是(\sqrt{3136})的值。若依次按根号键、(2)、等号，计算器显示(1.414213562)，这是(\sqrt{2})的值吗？
生：不是，这只是(\sqrt{2})的近似值。
师：对，如果题目要求精确到(0.001)（千分位），看显示结果中千分位(4)后面的万分位是(2)，四舍五入，(\sqrt{2})的近似值取(1.414)。利用计算器这个功能，就能求出一些有理数的算术平方根或其近似值。不过不同品牌、型号的计算器求算术平方根时按键顺序可能不同。
师：有了计算器，章前提到的问题就好解决了。宇宙飞船想飞出地球进入轨道正常运行，要求速度大于第一宇宙速度(v_{1})，小于第二宇宙速度(v_{2})。(v_{1})和(v_{2})满足条件，其中(g)取近似值(9.8)，(r)是地球半径，取近似值(6.4×10^{6})米。作为正数，(v_{1})是(g×r)的算术平方根，可表示成(\sqrt{gr})；(v_{2})是(2gr)的算术平方根，可表示为(v_{2}=\sqrt{2gr})。利用计算器，能算出(v_{1})和(v_{2})的近似值吗？