师：同学们好，今天这节课我们来学习第十七章第二节一元二次方程解法的第五课时。在前面几节课，同学们学习了一元二次方程的四种解法，现在我们一起来回顾这四种解法的理论依据以及适用范围。
首先，直接开平方方法的理论依据是平方根的意义，它适用于等号一边可化为含未知数的代数式的平方，另一边是非负数的一元二次方程。
配方法的理论依据是完全平方公式，适用于有实数根，即$b^2 - 4ac \geq 0$的一元二次方程。
公式法的理论依据同样是配方法，也适用于所有有实数根的一元二次方程。
因式分解法的理论依据是：若$a×b = 0$，那么$a = 0$或者$b = 0$。它适用于等号一边易于分解成两个一次因式的积，另一边为$0$的一元二次方程。
请同学们看这个表格，会发现直接开平方法和因式分解法并非适用于所有一元二次方程，我们把这两种方法归纳为特殊方法。而配方法和公式法适用于所有一元二次方程，我们将其归纳为一般方法。
现在，如果给你一个一元二次方程，让你选择一种方法求解，你该如何选择呢？我们来看方程$x^2 - 2x - 3 = 0$。先计算$b^2 - 4ac$，结果等于$16$，说明这个方程有实数根，所以可以选用配方法和公式法求解。那它能用两种特殊方法求解吗？我们回顾一下两种特殊方法适用的具体方程类型。
直接开平方法适用于缺少一次项的方程，以及等号一边或两边是完全平方形式的方程。
因式分解法适用于缺少常数项的方程，以及能明显看到公因式的方程。这些方程结构特殊，我们通常会选用特殊方法求解。
再看方程$x^2 - 2x - 3 = 0$，它是一般形式的方程，一次项和常数项都不为$0$，它适合用特殊方法吗？我们看方程左边$x^2 - 2x - 3$，它可以分解成$(x - 3)(x + 1)$，所以这个方程可以用因式分解法求解。也就是说，这个方程可以用因式分解法、配方法以及公式法求解。接下来我们用这三种方法分别解这个一元二次方程。
先看配方法，将常数项移到右边，等式两边同时加上一次项系数一半的平方，方程左边转化为$(x - 1)^2$，右边是$4$，直接开平方得$x - 1 = ±2$，由此可写出方程的两个根。
再看公式法，求解时先确定各项系数，算出$b^2 - 4ac = 16 > 0$，然后代入求根公式，得到$x = \frac{2 ± 4}{2}$，从而写出方程的两个根。
最后看因式分解法，前面已将方程左边因式分解为$(x - 3)(x + 1)$，直接得到两个一次方程，求解这两个一次方程就能得到方程的两个根。
用三种方法都解出了这个方程，如果让同学们选择一种方法求解，大家肯定会选因式分解法，因为这种方法解这个方程比其他两种简便很多。也就是说，除了结构特殊的方程用特殊方法求解，对于一般形式的方程，我们也会优先考虑用因式分解法求解。接下来请同学们跟老师一起做练习。
先看第一个方程，有$(2y - 1)^2$这个完全平方形式，稍作变形得$(2y - 1)^2 = 9$，直接开平方就能求出方程的解，所以这个方程用直接开平方法求解。
再看第二个方程，方程左右两边都有公因式$x + 3$，将方程右边部分移到左边，就可以提取公因式进行因式分解，所以这个方程用因式分解法求解。
第三个方程是一般形式的方程，左边能分解成$(x - 1)(x - 2)$，所以这个方程也用因式分解法求解。解方程时要先仔细观察方程，辨别结构，再确定方法。
接着看第四个方程，它既无特殊结构，也不是一般形式的方程，我们先将它化为一般形式，得到$x^2 - 2x - 15 = 0$。这个方程能用因式分解法求解吗？看方程左边，它可以分解成$(x - 5)(x + 3)$，所以这个方程也能用因式分解法求解。
这里可能有的同学会问，怎样判断一个方程可以用因式分解法求解呢？老师告诉大家一个小窍门，用因式分解法解一般形式的方程时，方程各项系数通常是有理数，且在有理数范围内因式分解，求得的方程的根也往往是有理数。方程求根公式中，$b^2 - 4ac$是被开方数，要使方程的根为有理数，$b^2 - 4ac$就应该是有理数的平方。比如第四个方程的$b^2 - 4ac$是$64$，是$8$的平方。由此可得结论，当$b^2 - 4ac$是有理数的平方时，方程往往可以选用因式分解法求解；反之，如果$b^2 - 4ac$不是有理数的平方，往往就不选用因式分解法求解。
看第五个方程，这是一般形式的方程，先计算$b^2 - 4ac = 20$，它不是有理数的平方，所以这个方程只能用一般方法求解，即公式法或者配方法。
再看第六个方程，同样是一般形式的方程，计算$b^2 - 4ac$，结果仍然不是有理数的平方，所以这个方程也只能用公式法或者配方法求解。
接下来总结一下何时用特殊方法求解方程。第一，结构特殊的方程，像练习中的第一、二题，会用特殊方法。第二，一般形式的方程优先考虑用因式分解法求解，比如练习中的第三个方程。还有一些方程既无特殊结构，也不是一般形式，我们会将其化为一般形式后，再优先考虑用因式分解法求解，例如练习中的第四个方程。对于一般形式的方程能否用因式分解法求解，还可以用$b^2 - 4ac$是不是有理数的平方来判断。如果不是有理数的平方，就要用一般方法求解，比如练习中的第五、六两个方程，这两个方程我们选用一般方法求解。