师：同学们，大家好，愉快的一节课又要开始了。上节课我们学习了平行四边形的边角性质，那平行四边形还有哪些性质呢？本节课我们就一起来探究。
首先，来看一个实际问题。有一位饱经沧桑的老人，经过一辈子辛勤劳动，晚年终于拥有了一块平行四边形的土地。由于年迈体弱，他决定把这块土地平分给四个孩子。他是这样分的，同学们，知道他是如何分的吗？
生：连接平行四边形的对角线，把平行四边形土地分成四个三角形，将这四块三角形土地分别分给四个孩子。
师：对，那同学们觉得他这样做公平吗？先别急，随着学习的深入，大家很快就能解决这个问题。
咱们先来回顾一下上节课学习的平行四边形的性质。上节课我们知道平行四边形两组对边分别平行且相等。在平行四边形 ABCD 中，两组对边分别平行，即 AD 平行于 BC，AB 平行于 CD；两组对边分别相等，即 AB = CD，AD = BC。而且平行四边形 ABCD 中还有两组对角分别相等，即∠A = ∠C，∠B = ∠D。
同学们，我们在探究平行四边形的性质时，把四边形问题转化成三角形问题去研究，这里体现了数学中重要的转化思想。那除了边和角的性质，平行四边形还有哪些性质呢？下面请同学们和老师一起来探究。
大家拿出一张白纸，以及直尺和三角板。先在纸上画一个平行四边形 ABCD，画好了吗？接着连接它的对角线 AC 和 BD，设它们相交于点 O。请同学们分别测量 OA、OC、OB、OD 这四条线段的长度，看看它们之间有什么关系。
生：通过测量，发现 OA 和 OC 相等，OB 和 OD 也相等，也就是说平行四边形对角线的交点 O 平分了对角线 AC 又平分了对角线 BD。
师：那是不是所有平行四边形都这样呢？我们先得到一个猜想：平行四边形的对角线互相平分。同学们，这个猜想到底有没有科学性，是否适用于所有平行四边形，这就需要用严格的几何证明来解决。那如何证明呢？
同学们想一想，要证明这个问题，首先要画一个平行四边形，然后写出已知和求证。老师这里画出了平行四边形 ABCD，已知：如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC 和 BD 相交于点 O，求证：OA = OC，OB = OD。这样就把“平行四边形的对角线互相平分”这一文字语言转化成了几何语言。
大家想想如何证明 OA = OC，OB = OD 呢？
生：在解决四边形问题时，常常把它转化为三角形问题。这里能发现有全等的三角形，比如三角形 OAB 和三角形 OCD，可以证明它们全等。
师：非常好。根据平行四边形的性质，平行四边形对边平行，所以 DC 和 AB 平行。这样就能得到∠3 = ∠4，∠1 = ∠2，这是根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等。
那对于全等三角形的证明，还差一个条件，找到了吗？
生：DC 和 AB 相等，因为平行四边形对边相等。
师：没错，这样一来就可以证明这两个三角形全等。三角形全等，根据全等三角形对应边相等，就能得到题目要证的结论。一起来看完整的证明过程。
因为四边形 ABCD 是平行四边形，所以 AB = CD，AB 平行于 CD（平行四边形边的性质），所以∠1 = ∠2，∠3 = ∠4，所以三角形 OAB 全等于三角形 OCD（根据全等三角形的“角边角”判定方法），所以 OA = OC，OB = OD。
同学们，还有其他方法来证明这道题吗？
生：还可以证明剩下的两个三角形 ODC 和三角形 OAD 全等，道理和刚才类似。
师：对。通过严格的几何证明，我们发现刚才的猜想是完全正确的，所以把这一猜想作为结论记录下来，也就是平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分。
那如何用符号语言来叙述这一性质呢？在老师画的平行四边形 ABCD 中，这样写：因为平行四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，所以 OA = OC，OB = OD。
接下来，我们还有几个重要结论，同学们找一找。在这个平行四边形中，有几组全等三角形呢？
生：发现刚才证明的三角形 OBC 和三角形 OAD 全等，还有三角形 OAB 全等于三角形 OCD，两对全等三角形。另外，大一点的三角形 ABD 和三角形 CBD 也全等，三角形 ABC 和三角形 ADC 也全等，一共有 4 对全等三角形。
师：同学们再想一想，这四个三角形之间面积有什么关系呢？
生：全等三角形面积一定相等，相对的两对三角形面积相等。而且相邻的三角形，比如三角形 AOB 和三角形 AOD，因为平行四边形对角线互相平分，OB 和 OD 相等，这两个三角形等底同高，所以面积相等。同样道理，剩下相邻的三角形面积也都相等。
师：非常好，这样平行四边形的对角线就把平行四边形分成了四个面积相等的三角形，这也是平行四边形中的重要结论。
在刚刚的过程中，我们又熟悉了三种重要语言：文字语言、图形语言和符号语言，并且熟练掌握了它们之间的相互转化。
同学们，对于刚开始上课老师提出的实际问题，现在知道答案了吗？老人分地合理吗？
生：合理，因为老人通过平行四边形的对角线，把平行四边形划分成的四个三角形面积相等，所以这样分地是公平的。
师：没错，在解决这一问题的过程中，我们把实际问题转化成数学问题，又把四边形问题转化成三角形问题，这些都体现了数学中重要的转化思想。
学习了平行四边形对角线互相平分的性质，接下来看看如何应用它解决一些问题。
来看例一，在平行四边形 ABCD 中，AC 与 BD 相交于点 O，OA = 12 厘米，OB = 19 厘米，求 AC 和 BD 的长度。
生：因为平行四边形对角线互相平分，所以 AC 的长度是 OA 长度的两倍，OA = 12 厘米，那么 AC = 24 厘米；BD 的长度是 BO 长度的两倍，BO = 19 厘米，所以 BD = 38 厘米。
师：很好，把这道题变一变，在平行四边形 ABCD 中，AC = 24 厘米，BD = 38 厘米，AD = 28 厘米，求三角形 OBC 的周长。
生：求三角形周长就是求三边长度之和。在三角形 OBC 中，BC 和 AD 长度相等，等于 28 厘米。因为平行四边形对角线互相平分，OB 长度等于 BD 的一半，是 19 厘米；OC 长度等于 AC 的一半，是 12 厘米。三者相加，三角形 OBC 的周长为 59 厘米。
师：再变一变，在平行四边形 ABCD 中，AB = 20 厘米，AD = 28 厘米，问三角形 AOD 与三角形 ABO 的周长之差。
生：三角形 AOD 与三角形 ABO 是相邻的，它们有一条公共边，OB 和 OD 相等。所以这两个三角形周长的差就是第三条边的长度之差，也就是线段 AD 和线段 AB 的长度之差。AD = 28 厘米，AB = 20 厘米，两者相减，周长之差是 8 厘米。