师：同学们好，从本节课开始，我们将学习新章节内容。首先，请大家做好课前准备。
到目前为止，我们已经认识并学习了三角形。请同学们拿出手中的三角尺，思考一下，三角尺可以抽象出什么样的三角形呢？
生：直角三角形。
师：非常好，那你能说一说直角三角形具有什么样的性质吗？一般来说，我们研究三角形会从它的边和角出发。
生：直角三角形有一个直角。根据三角形内角和是180度，可以知道另外两个锐角∠A + ∠B = 90度，即直角三角形两锐角互余。
师：很好，我们还会研究边和角的关系。在直角三角形中，如果有一个角是30度，会怎么样呢？
生：直角三角形中30度所对的直角边等于斜边的一半，即BC = 1/2AB。
师：没错，因为直角三角形是特殊的三角形，它具备一般三角形所具有的性质。那么，直角三角形三边之间除了具备两边之和大于第三边、两边之差小于第三边之外，还有什么样更特殊的性质呢？从本节课开始，我们就一起来探讨直角三角形三边之间的特殊关系。
在小学时，我们经常在网格图中研究图形，今天我们依旧在网格图中研究直角三角形。大家请看，在边长都是1的方格网中做出一个等腰直角三角形，分别以三角形的各边为正方形的一边向外做三个正方形。你能说出图上三个正方形的面积吗？
生：很明显，S1和S2的大小我们都可以利用数格子或者正方形的面积计算得出，S1 = 9，S2也是9。
师：那S3是多少呢？我们可以采用分割的方法将S3分割成两个等腰直角三角形来求解。
生：通过求解得到S3 = 18。
师：现在我们改变等腰直角三角形的其中一条直角边。你能说出图2中三个正方形的面积分别是多少吗？
生：同样的方法，可以得到S1 = 9，S2 = 16。
师：那么S3呢？我们可以采用小学时所学的割补法。首先可以利用割的方法将S3分割成四个直角三角形和一个小正方形，通过求四个直角三角形与中间小正方形的面积之和，得到S3的大小。也可以利用补的方法将它补成一个大正方形，用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积，同样能得到S3的面积。
生：通过计算，S3 = 25。
师：那么接下来请同学们思考S1、S2和S3之间具有怎样的数量关系呢？
生：很明显，S1 + S2 = S3。
师：你能利用正方形的边长来表示这个关系吗？
生：通过观察，我们可以很明显地看出S1是以a为边长的正方形面积，S2是以b为边长的正方形面积，S3是以c为边长的正方形面积。所以这个关系式还可以表示成a2 + b2 = c2。
师：又因为a、b、c分别是直角三角形的三条边，a、b是直角边，c为斜边。所以这个关系我们还可以表述成直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。对于这一表述，请问所有的直角三角形都满足吗？
生：不一定。
师：所以我们给出猜想。我们猜想对于任意的直角三角形，如果a、b为直角边，c为斜边，那么两直角边的平方和就等于斜边的平方。用符号可以表述为，在Rt△ABC中，若∠C = 90°，那么a2 + b2 = c2。对于这个猜想，我们可以利用几何画板来进行验证。请大家看图。通过几何画板的度量功能，已经度量出直角三角形的三边长，通过几何画板的计算功能计算出斜边c2的值以及两直角边的平方之和。此时c2 = 101.01，a2 + b2也是101.01。接下来老师会拖动这个直角三角形的任意一个顶点，改变直角三角形的大小，请同学们观察，在改变直角三角形的过程当中，c2与a2 + b2值的大小有什么样的关系？
生：通过几何画板的动态演示，我们发现c2始终等于a2 + b2。
师：由此就证明了我们的猜想，在直角三角形当中，直角边的平方之和等于斜边的平方。当然对于这个猜想的证明方法还有很多，我国数学家赵爽就通过拼图利用面积的方法证明了这个猜想，它究竟是怎么做到的呢？接下来我们就一起探寻古人的足迹，试着证明猜想吧。首先取四个全等的直角三角形，在较短的直角边处记作a，较长的直角边处记作b，斜边记为c。通过赵爽的拼法，我们把它拼成一个边长为c的正方形，中空部分是一个小正方形。人们把这个图形称作赵爽弦图，请问中间小正方形的边长是多少呢？
生：是b - a。
师：那么中间小正方形的面积就应该是(b - a)2。你能根据大正方形面积的计算方法探讨出直角三角形三边之间的数量关系吗？下面我们一起尝试证明吧。
生：因为这个正方形它的边长是c，所以面积可以表示成c2。这个大正方形也可以看作是由四个直角三角形和一个小正方形组合而成，所以它的面积还可以表示成四个直角三角形的面积与小正方形的面积之和。通过化简可以得到，面积可以表示成a2 + b2，即a2 + b2 = c2。
师：由此验证了猜想，直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。赵爽弦图通过对图形的切割拼接，巧妙地利用面积关系证明了这个猜想。因此，这个图案被选为2002年在北京召开的第24届国际数学家大会的会徽。这是最高水平的全球性数学科学学术会议，被誉为数学界的奥运会。它充分肯定了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，是我国古代数学的骄傲。那么你还能利用其他的拼法来证明这个猜想吗？在西方最早提出并证明此定理的是公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派。请同学们尝试图上的拼法，利用面积证明猜想。