师：同学们好，欢迎来到数学课堂。今天我们一起学习北师大版八年级上册第一章第三节勾股定理的应用。我们先来知识回顾，请同学们大声回答下列问题。
第一，勾股定理的内容是什么？
生：直角三角形的两直角边分别为(a)、(b)，斜边为(c)，则有(a^2 + b^2 = c^2)，它可以用来求直角三角形的边长。
师：第二，勾股定理的逆定理是什么？
生：如果一个三角形三边(a)、(b)、(c)满足(a^2 + b^2 = c^2)，则这个三角形是直角三角形。它可以用来证明一个角是直角。
师：在进入今天的新课之前，我们先来看一个情境。在(A)点的小狗，为了尽快吃到(B)点的香肠，它选择了(A)到(B)这个路线，而不选择(A)到(C)再到(B)。难道小狗也懂数学吗？同学们，你能用数学的知识来解释吗？
生：两点之间线段最短，因此(AC + BC > AB)。
师：非常好，两点之间线段最短应用于平面之中。那在立体图形中，我们怎样寻找最短路线呢？这就是我们本节课的重点。
我们来看下面一个情景。在一个圆柱石凳上，它的高等于(12)厘米，底面上圆的周长等于(18)厘米。在圆柱下底面的点(A)有一只蚂蚁，它想喝到上底面与(A)相对的点(B)处的饮料。同学们想一想蚂蚁怎样从(A)走到(B)处呢？现在请同学们在你的圆柱体上先来画一下蚂蚁可以走的路线。这里老师也来分享几种路线。
路线一：蚂蚁先沿着圆柱的高，再沿着上底面直径爬行到(B)处；路线二：蚂蚁先沿着圆柱的高，再沿着上底面圆周爬到(B)处；路线三：蚂蚁先沿着侧面，再沿着上底面圆周爬到(B)处；路线四：蚂蚁沿着侧面从(A)爬到(B)处。当然，蚂蚁爬行的路线并不止这些，同学们，和你画的一样吗？
现在我们改变一下题目的要求，研究蚂蚁在圆柱体的侧面从(A)爬行到(B)的问题。讨论下列两个问题：第一，蚂蚁怎样沿圆柱体的侧面从(A)爬行到(B)点？第二，有最短路径吗？怎么找到的呢？
刚才我们讨论的(4)种路线中，你会发现路线二、路线三、路线四可以看作是沿着侧面从(A)爬到(B)的，那么这三种路线中哪一种最短呢？我们已经会求平面中最短路线的问题。那么立体图形它可以转化成平面图形吗？这里圆柱体的侧面，它的展开图是长方形，这样我们就把立体图形转化成平面图形，然后再利用两点之间线段最短进行解决。
现在我们先把圆柱体的侧面进行展开，成一个长方形。这里我们找到(A)、(B)两点，(B)点在圆柱上底面圆周的一半对应的是长方形边长的一半，也就是一条边的终点，此时连接(AB)就是我们要找的最短路线。那该如何求(AB)的长度呢？因为三角形(ABC)是直角三角形，因此可以利用勾股定理进行求解。
下面我们来看一下这道题的具体解法。首先由题意我们得到展开图，如图所示，此时(AB)即为最短路径。(AC)的长度是圆柱的高，(AC = 12)，(BC)是上圆周的一半，(BC)长度等于(\frac{1}{2}×18 = 9)。在直角三角形(ABC)中，由勾股定理得(AB^2 = AC^2 + BC^2 = 225)，所以(AB = 15)。最后下一个结论，因此最短路径是(15)厘米。
这样我们就解决了圆柱体侧面上最短路线问题，请同学们归纳一下我们如何解决立体图形中最短路线问题的？
生：我们要先把立体图形转化成平面图形，利用两点之间线段最短，找到最短路径。然后构造直角三角形，利用勾股定理求出最短路径的长度。
师：圆柱体上最短路径问题我们已经解决了，同学们你掌握了吗？我们继续帮助蚂蚁寻找食物。
变式一：看到小蚂蚁终于喝到饮料的兴奋劲，小明又灵光乍现，拿出了牛奶盒，把小蚂蚁放在了(A)处，并在(E)处放上了火腿肠粒。此时，你能帮小蚂蚁找到完成任务的最短路程吗？这里的立体图形由圆柱形变成了长方体，要解决长方体上最短路径问题，我们还是要把立体图形转化成平面图形。
我们先来分析一下蚂蚁可以走的路线，因为长方体有(6)个面，蚂蚁可以走的路线有很多种，这里从(A)走到(E)，它最少要走几个面？因为(A)、(E)两点不在同一平面上，最少要走两个面。请同学们在你的牛奶盒上画一下蚂蚁可以走哪两个面，再把它的展开图画在你的草稿纸上。
我们先来看蚂蚁可以走哪两个面？蚂蚁可以从(A)点沿着前面和上面爬行到(E)处，相对的，它可以沿着下面和后面爬行到(E)处。蚂蚁也可以沿着牛奶盒的左面和上面爬到(E)处，这两个面的相对面是下面和右面爬行到(E)处。最后蚂蚁可以沿着前面和右面爬行到(E)处，它的相对面是左面和后面爬到(E)处，这里蚂蚁一共有(6)种走法。
现在我们把(6)种走法的展开图画一下。第一种走法的展开图前面和上面两个长方形组成了一个大的长方形，你会发现下面和后面的展开图与前面和上面的展开图是一样的，我们得到了图一所示。那么左面和上面的展开图仍然是两个长方形组成。通过展开图你会发现下面和右面的展开图与上面和左面的展开图是同样大小的长方形，如图(2)所示。
这里前面和右面的展开图也是两个长方形，这两个长方形是横着展开，得到了(ACEG)这一个大的长方形。通过作图我们会发现后面和左面的展开图与前面和右面的展开图是同样大小的长方形，因此我们画出图中所示的三种展开图。
那这三种情况中，连接(AE)就是我们要求的最短路线，哪一种是最短的呢？此时我们要求出(AE)的长度进行比较，求(AE)的长度，我们仍然是利用勾股定理。
第一种情况，在直角三角形(ABE)中利用勾股定理，我们先来找直角三角形的两直角边。这里把长(2)当作了一条直角边，把高(4)与宽(1)的和当作了另一条直角边。此时(AE^2 = AB^2 + BE^2 = 29)。
第二种情况，在三角形(ADE)中，这里把宽(1)当做了一条直角边，把高与长的和当做了另一条直角边。由勾股定理知，(AE^2 = AD^2 + DE^2 = 37)。
第三种情况，在三角形(ACE)中，它的两条直角边(4)是其中的一条直角边，那么长与宽的和是另一条直角边。因此我们得到(AE^2 = AC^2 + CE^2 = 25)。