师：各位同学，大家好。今天我们来学习功与能复习的第三节内容——动能定理。先来看看今天的内容要点，有两个：第一个是用动能定理解决全过程问题，第二个是用动能定理解决多物体问题。在使用动能定理之前，我们先来回顾一下它的使用步骤。
使用动能定理时，首先要确定研究对象和研究过程。确定之后，分两步走：第一步做运动分析，第二步做受力分析。
运动分析时，要弄清楚物体的运动性质和特点，目的是寻找初末动能，明确初末状态，也就是解决动能定理右边$\Delta E_{k}=\frac{1}{2}mv_{t}^{2}-\frac{1}{2}mv_{0}^{2}$，即动能变化量的问题。
找到初末动能后，进行受力分析。此时要明确研究对象受多少个力，这些力是恒力还是变力。结合运动分析中对应的位移，确定各力的做功情况，即每个力是否做功，做正功还是负功，这是为了解决动能定理左边$W_{合}$等于每个力做功代数和的问题。这两步分析既可以针对某一个阶段，也可以是多个过程结合。完成这两步后，用动能定理列等式，再求解并讨论结果是否合理，这就是动能定理使用步骤的回顾。
接下来看一道练习。如图所示，一个质量为$m$的弹性小球，从离地面高为$h$的位置无初速度释放，第一次反弹后上升的最大高度为$0.8h$。已知弹性小球与地面碰撞过程中无能量损失，空气阻力恒定，重力加速度为$g$。第一问，求小球在运动过程中所受空气阻力的大小。
我们先分析小球的运动。小球静止释放后做自由落体运动，碰到地面后弹起上升到最高点。下落时，小球受向下的重力和向上的空气阻力；上升时，受向下的重力和向下的空气阻力。题目说空气阻力恒定，这里指大小恒定，方向在全过程中变化，所以不能直接用$W = Fs\cos\alpha$求功，因为它适用于恒力做功，而这里是变力作用。但分开看下降或上升过程，空气阻力就是恒力。
下落过程，$W_{F1} = -Fh$；上升过程，$W_{F2} = -F×0.8h$。整个过程空气阻力做的功就是两者代数和。
我们选择小球从开始运动到第一次上升到最高的过程列式。末动能，因为上升到最高速度为$0$，所以是$0$；初动能，静止释放也是$0$，末动能减初动能就是$0 - 0$。重力做功等于重力乘以高度差，由此可算出空气阻力$F = \frac{1}{9}mg$。
第二问，求弹性小球在空中运动的总路程。假设第一次弹起上升的最大高度为$H_{1}$，到这个位置速度为$0$，之后受重力作用往下掉，碰到地面再弹起，第二次上升最大高度为$H_{2}$，第三次为$H_{3}$，第四次为$H_{4}$……总路程表达式为$h + 2H_{1} + 2H_{2} + \cdots$。虽然理论上可以求出每个$H$，但没必要，因为这是无数多个过程。其实这里每个过程都是前面过程的重复，之前求空气阻力做功时，空气阻力乘以下落距离加上上升距离，就是第一次运动的总路程，这属于特殊变力做功，当力大小不变，方向始终与运动方向相反时，可用力的大小乘以走过的路程。
所以我们选择小球从开始运动到最后静止在地面的过程。初末动能都为$0$，这个过程有重力做功，重力乘以高度差$h$，减去空气阻力乘以总路程等于$0$，由此可解得总路程$s = 9h$。
小结一下这道题，解决问题过程中，用到特殊变力做功，空气阻力做功等于空气阻力乘以总路程（负的，因为做负功）。
接下来看类似题目。如图所示，$ABCD$为两个对称斜面，上部足够长，下部$B$、$C$分别与一个光滑的圆弧形两端相切，圆弧圆心角$2\theta = 120^{\circ}$，半径$r = 0.1$米。一个物体在离圆弧高$h = 0.3$米处，以初速度$v_{0} = 2$米每秒沿斜面运动。物体与两斜面间动摩擦因数$\mu = 0.02$，求物体在两斜面上一共运动的路程。
由前面经验可知，这道题用动能定理求解。先确定研究对象为该物体，然后对其受力分析。假设物体下滑，下滑后会爬上另一边，由于摩擦力较小，滑到最高后还会掉下来。物体沿斜面上滑时，受向下的重力、支持力和沿斜面向下的摩擦力；沿斜面向下时，受沿斜面向上的摩擦力。摩擦力方向始终与速度方向相反，可联想到$W_{f} = -Fs$（路程），但需力大小恒定。