师：同学们大家好，今天我们共同来学习用列举法求概率的习题课。本节课的学习目标有：一、能够通过列举法找到事件包含结果的个数，并求出事件发生的概率；二、了解列表法和树状图法的特点，根据问题情境能选择适当的方法求概率；三、规范列举法的书写，体会数学语言的严谨性。本节课的学习重点是能够规范运用列举法求事件发生的概率，难点是选择适当的方法求概率。
首先，我们通过几个练习题回顾一下前两节课的学习内容。
第一题，小穗同学掷一枚硬币，结果连续7次正面朝上，那么他第八次掷硬币出现正面朝上的概率是多少？我们知道，抛掷硬币得到的结果是随机事件，且随机事件的结果具有等可能性。第八次抛掷与前七次抛掷的结果并无关联，仍然只有两种等可能结果：正面朝上或者反面朝上，因此正面朝上的概率是$\frac{1}{2}$。
第二题，平行四边形$ABCD$中，$AC$、$BD$是两条对角线。现从以下四个关系：一、$AB = BC$；二、$AC = BD$；三、$AC⊥BD$；四、$AB⊥BC$中随机取出一个作为条件，可推出平行四边形$ABCD$是菱形的概率为多少？
我们知道，在平行四边形的条件下，要证明是菱形，可以从两个方向思考。从边的角度看，一组邻边相等的平行四边形是菱形，题中的关系式一满足；从对角线的角度看，对角线互相垂直的平行四边形也是菱形，题中的关系式三满足。
在这四个关系中随机取一个，共有四种等可能的结果。而能使$ABCD$为菱形的结果是关系式一和关系式三，因此所求概率为$\frac{2}{4}$，也就是$\frac{1}{2}$。
第三题，掷一枚普通的正方形骰子，出现6的概率是多少？出现3的倍数的概率是多少？出现偶数的概率又是多少？最后，点数大于4的概率是多少？
抛掷正方形骰子会出现6种等可能结果。尽管本题设问较多，但所有问题事件发生的结果都在这6种等可能的结果中。所以，出现6的概率为$\frac{1}{6}$；其中3的倍数有3和6两个数，所以出现3的倍数的概率是$\frac{2}{6}$，即$\frac{1}{3}$；其中偶数有2、4、6三个数，所以出现偶数的概率是$\frac{3}{6}$，即$\frac{1}{2}$；出现点数大于4的只有5和6两个数，所以最后所求的概率为$\frac{2}{6}$，即$\frac{1}{3}$。
前面的第2题和这里的第3题我们都用了列举法中的枚举法解决了相关问题。接下来看第4题，同时掷两个质地均匀的骰子，用列举法求事件“两个骰子点数和为9”的概率。
如果这道题仍然选用像前面第2、3两题的枚举法，列举出所有可能发生的结果，可能会理不清楚。这个时候我们不妨选用前面学习过的列表法来呈现事件可能发生的所有结果。
请看本题的规范作答。观察表格，横表头表示第一个骰子可能出现的6种结果，纵表头表示第二个骰子可能出现的6种结果。同时抛掷两个骰子意味着这两个骰子出现的结果互不关联，因此，表中的$6×6 = 36$个空白处都需要我们填入相应的内容。值得注意的是，前一个值表示第一个骰子的结果，后一个值表示第二个骰子的结果。填写时，每个空白处都要遵循同一个顺序要求。
其次，需要同学们注意的是，完成表格后一定要规范书写这么一句话：“可能出现的结果共有36个，它们出现的可能性相等。”如果同学们在考试答卷时这句话不写，或者写不规范，一定会被扣分。最后还需要同学们写出事件发生的结果有几个，是哪几个。完成以上书写过程之后，我们才能最终求出事件的概率是$\frac{1}{9}$。
当然，本题还可以选用树状图来解答。
通过以上4个练习，我们回顾了枚举法和列表法求概率，这里再次强调列举法求概率的条件和求法。以上练习的事件都满足下面两个条件：一、在一次实验中可能出现的结果是有限个，比如第一题有两个可能出现的结果，正面或者反面；第二题有4个可能出现的结果；第三题有6个等可能出现的结果；第四题表格中呈现了36个等可能的结果，它们都是有限个。二、在一次实验中，各种结果出现的可能性必须相等，也就是我们常说的随机性。至于求概率的公式$\frac{m}{n}$，相信同学们都已经了解了$n$与$m$的含义。
接下来我们看一道例题。一枚硬币先后抛出三次，三次朝上至多有一次是正面的概率为多少？我们尝试分别用树状图法和列表法。
首先看问题，“三次朝上至多有一次是正面”，同学们思考一下这里的关键词“至多”是什么含义？不错，“至多有一次”的意思就是可以有一次，也可以一次也没有。
我们首先选用树状图来呈现三次抛掷硬币可能出现的结果。第一次出现结果为正面或者反面。当第一次出现结果为正面时，第二次结果可以为正面，也可能是反面；同理，在第一次出现结果为反面时，第二次出现结果也可能是正面，可能是反面，搭配在一起抛掷两次硬币就会有四种等可能的结果。我们继续抛掷第三次，以此类推，抛掷3次就可能出现等可能的结果共有8个。
至此就说明了此事件满足了列举法求概率的两个基本条件：有限个结果和等可能结果。接下来在这8个结果中选出满足事件发生的结果有4个，所以3次朝上至多有一次是正面的概率为$\frac{4}{8}$，也就是$\frac{1}{2}$。这里同样要写清列举法求概率的两个基本条件，即“可能出现的结果共有8个，它们出现的可能性相等”。
那么接下来同学们思考一下，题目还要我们用列表法解决，用列表法如何进行解答呢？相信同学们会发现，对于此题，列表法好像不太适用了。为什么表格列不出来了呢？细心的同学会发现之前的练习题都是涉及一个或者两个因素，如前面的第四题同时抛掷两个骰子，我们选择用表格呈现出所有可能的结果。但是本题抛掷硬币三次涉及的因素是三次抛掷的结果，而表格只能二维描述横表头和纵表头，无法给出三次抛掷结果的搭配内容。但是树状图就很好地呈现多维的搭配内容。