师：今天上午我们一起来学习九年级数学第 28 章锐角三角函数的第 2 小节解直角三角形及其应用的第 3 课应用举例。在学习新课之前，我们先复习一下前几天学的内容。
第一个，解直角三角形的依据。有些同学不太清楚什么是解直角三角形。在直角三角形中有三个角和三条边，共 6 个元素，除直角外，利用已知条件求出其余元素的过程，就是解直角三角形。解的过程主要应用到以下三个知识点：第一个是关于三边关系的勾股定理；第二个是直角三角形的两锐角互余；第三个是本章学习的边角关系，分别为正弦 sin 等于对边比斜边，余弦 cos 等于邻边比斜边，正切 tan 等于对边比邻边。
第二个，既然知道了解直角三角形的依据，那该如何求解一个直角三角形呢？这就要用到解直角三角形的条件。什么时候可以解直角三角形呢？当满足一条边和一个锐角，或者满足两条边时，就可以解出这个直角三角形。
第三个知识点，复习方位角。我们在七年级时已初步认识方位角，观测点与目标位置的连线，与正南或正北方向所形成的角就是方位角。大家看这两个空怎么填呢？
生：第一个空填点 a 在点 o 的北偏东 30 度方向，点 b 在点 o 的南偏西 45 度方向，南偏西 45 度也就是通常说的西南方向。
师：好，复习完三个知识点，我们来看一个实际问题，请大家先审题。审题时要关注题目中的数据，并在图形中标注。我已将题目中重要语句用不同颜色标注，其中有北偏东 65 度、南偏东 34 度、正南方向，题目还有一个数据 80 海里。读题可知点 a 位于灯塔 p 80 海里处，在图上画出，PA 的长度就是 80。题目要求 b 处距离灯塔 p 有多远，也就是求 BP 的长度。大家想想，怎么求一条线段的长度呢？
生：求线段长度常用勾股定理、相似、锐角三角函数这三个方法。
师：对，我们看看这道题能不能用勾股定理来求。根据题目所给的 65 度和 34 度，可算出角 APB 是 81 度，显然三角形 APB 不是直角三角形。不过我们学过可以构造直角三角形，由题可知南北方向和东西方向垂直，PC 垂直于 AB。这样能用勾股定理吗？我们发现在三角形 BCP 中不知道任何一条边的长度，在三角形 APC 中只知道一条边的长度，用勾股定理很难解出来。同样，题目中也没有相似的三角形，所以只能考虑锐角三角函数了。要用锐角三角函数求 PB 的长度，该怎么做呢？根据复习内容，要在直角三角形中，且满足一条边和一个锐角，或者两条边的长度。三角形 ABP 不是直角三角形，但 PC 垂直于 AB，就有了两个直角三角形。要求 PB，需把 PB 放在三角形 PBC 中，这个三角形满足两条边或者一条边一个锐角吗？很显然，三角形 BPC 没有已知边长，所以两条边的情况可排除。那看看满不满足一条边和一个锐角，我们发现角 b 是 34 度，满足一个锐角，但还缺一条边。PC 行不行？BC 行不行？这两个都未知，哪个可以求出来呢？我们先假设 PC，如果知道 PC，能求出 PB 吗？
生：如果知道 PC，可以求出 PB 的长度。
师：对，那 PC 怎么求呢？我们发现已知中有两个数量没用，一个是 AP，一个是 65 度，参考数据中没给出 65 度的三角函数值，所以要转化一下，把 PC 放在另一个直角三角形中求，那就只有直角三角形 ACP 了。经分析，这里是 25 度，看看在三角形 APC 中能不能求出 PC 的长度。已知一个锐角和一条边，满足解直角三角形的条件，可以求出来。接下来选哪个三角函数来求呢？25 度，PC 是 25 度的对边，PA 是斜边，显然要用 25 度的正弦 sin 25 度来求。
好啦，分析到这里，大家回想一下，该怎么书写格式呢？首先要先求出 PC 的长度，把 PC 放在直角三角形 APC 中求出 PC，然后在直角三角形 PBC 中求出 BP 的长度，按这个方式书写。接下来我们书写格式，先将已知条件转化为数学语言，解：由题意得，角 APC = 90 度 - 65 度 = 25 度，同时要写出 PC 垂直于 AB，因为这是直角三角形的条件，角 b = 34 度，线段 PA 的长 = 80。
根据分析，先在三角形 APC 中求 PC 的长度，用到的三角函数为正弦。在直角三角形 APC 中，sin 角 APC = 对边 PC / 斜边 PA，变形可得 PC = PA × sin 角 APC = 80 × sin 25 度 ≈ 33.81。然后在直角三角形 PBC 中用三角函数，在直角三角形 PBC 中，sin b = 对边 PC / 斜边 PB，变形得到 PB = PC / sin b，代入数据计算出结果约等于 60 海里。这是实际问题，最后要下结论做答案，b 处距离灯塔 p 约有 60 海里。这里注意两个数据，33.81 和 60，题目要求精确到整数，为什么 33.81 不取整呢？因为 PC 是计算过程中出现的数据，为减少误差，一般这里不取整，只在最后结果 PB 这里取整。