师：同学们好，今天我们一起学习初中数学总复习第24讲正方形的知识。先看本节课学习内容：一是复习正方形的概念、性质、判定以及有关中点四边形的知识；二是从教材一道习题出发，通过变式解决与正方形相关的数学问题，包括计算、证明、坐标问题，用函数观点解决正方形中的动点问题，以及正方形与图形变换问题等。
首先回顾正方形知识。前几节课我们复习了平行四边形、矩形和菱形，正方形集它们的特性于一身，既是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形和菱形。用图展示，在平行四边形这个大家庭中，矩形和菱形重叠部分就是正方形。具体看正方形与其他特殊平行四边形的关系：一个平行四边形，若有一个角是直角，就变成矩形；在此基础上，再有一组邻边相等，就变成正方形。反过来，先让平行四边形有一组邻边相等，它就变成菱形；再让菱形有一个角是直角，同样可变为正方形。总之，有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。
看正方形的性质，它包含平行四边形、矩形和菱形的所有性质。从几方面分析：边，正方形四条边相等，邻边垂直，对边平行；角，四个角都是直角；对角线，对角线相等，互相垂直平分，每一条对角线都平分一组对角，两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形。正方形既是轴对称图形，也是中心对称图形，有四条对称轴。正方形面积计算有两种方法，一是边长的平方，二是对角线平方的一半，因为它也是特殊的菱形。
接着看正方形的判定。从四边形判定正方形，一般流程是先证明它是平行四边形，再证明是特殊的平行四边形（矩形或菱形），最后证明是正方形。从矩形、菱形证明到正方形，可从几方面：从边，矩形证明一组邻边相等就是正方形；从角，菱形证明有一个角是直角就是正方形；从对角线，菱形证明对角线相等，或矩形证明对角线垂直，都可变成正方形。正方形性质和判定较多，同学们要根据具体问题选最合适的方法。
下面看源于教材的问题。如图，ABCD是正方形，E、F、G、H是各边中点，问四边形EFGH是什么四边形？从图看，EFGH好像是正方形，带着这个猜想解决问题。因为ABCD是正方形，四个角是直角，四条边相等，E、F、G、H是中点，把四条边分成8条相等线段，这样就有四个直角三角形。由边角边可判定这四个直角三角形全等，所以它们的斜边相等，即EF = FG = GH = HE，小四边形四条边相等，是菱形。还要证明它是正方形，需证明有一个角是直角。每个直角三角形是等腰直角三角形，锐角是45度，所以∠AEH = 45度，∠BEF = 45度，那么∠HEF = 90度。一个菱形有一个角是直角，可判定四边形EFGH是正方形。
对这道例题反思：此图形包含两个正方形和四个全等直角三角形。解题用到正方形性质，如四边形ABCD是正方形，所以∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90度，AB = BC = CD = DA。还用到正方形判定，小四边形EFGH是菱形且∠HEF = 90度，所以是正方形。此外，证明了任意正方形的中点四边形还是正方形。回顾中点四边形知识：顺次连接一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形。中点四边形形状与原四边形对角线有关，原四边形对角线互相垂直时，中点四边形是矩形；原四边形对角线相等时，中点四边形是菱形。任意四边形的中点四边形是平行四边形，任意平行四边形的中点四边形还是平行四边形，任意矩形的中点四边形是菱形，任意菱形的中点四边形是矩形，任意正方形的中点四边形是正方形。
接下来对原问题做变式。改变中点条件，从特殊到一般。如图，ABCD是正方形，E、F、G、H分别是各边上的点，满足AE = BF = CG = DH。问小四边形是什么四边形？从图看小四边形还是像正方形，能否用前面方法证明呢？可以。大四边形是正方形，四条边相等，减去四条相等线段（AE、BF、CG、DH），可得到另外四条线段相等，且四个角都是直角。还是先证明四个直角三角形全等，它们的斜边相等，所以小四边形是菱形。要证明它是正方形，还需证明有一个角是直角。这里的直角三角形不是等腰直角三角形，没有45度角，利用全等知识解决。因为小三角形全等，所以对应角相等，∠1 = ∠2，直角三角形两锐角互余，∠1 + ∠3 = 90度，所以∠2 + ∠3 = 90度，从而得到∠HEF = 90度。一个菱形有一个角是直角，可证明四边形EFGH是正方形。这道题和前面方法几乎一样，先证明四个直角三角形全等，再证明有一个角是直角的菱形是正方形。