师：同学们，上节课我们学习了解直角三角形，大家一起回顾一下，什么是解直角三角形？一般在直角三角形中，除直角外共有5个元素，即三条边和两个锐角。由直角三角形中的已知元素求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形。解直角三角形的主要依据是什么呢？
生：第一个依据是三边之间的关系，直角三角形中三边满足勾股定理，两直角边的平方和等于斜边的平方。
生：第二个依据是两锐角之间的关系，直角三角形中两锐角互余。
生：第三个依据是边角之间的关系，也就是锐角三角函数。在直角三角形ABC中，角C是直角，锐角A的正弦等于角A的对边比斜边；角A的余弦等于角A的邻边比斜边；角A的正切等于角A的对边比角A的邻边。
师：很好，利用这些关系，知道其中两个元素（至少要有一个边的条件）就可以求出其余三个未知元素，这就是上节课学习的解直角三角形的问题。相信很多同学在2019年国庆观看了影片《我和我的祖国》，这部影片由七个小故事组成，其中《白昼流星》这个故事讲的是一对流浪少年亲眼见证神舟十一号成功着陆，心灵受到极大冲击和洗礼。今天我们要学习的第一个问题与神舟九号有关。2012年6月18日，神舟九号与天宫一号成功对接。请同学们打开课本74页，我们一起来学习例3。
这是一个实际问题，首先要将它转化为数学问题来研究。我们能不能把这个实际问题转化为平面图形问题呢？
生：可以，我们可以把这个问题抽象为以地球的中心为圆心，地球的半径为半径的圆O的有关问题。
师：题目条件说地球表面上有一个点P，组合体在地球表面P点的正上方是什么意思？
生：是指点O、点P和组合体点F要在同一直线上。
师：组合体在离地球表面343千米是指哪一段等于343？
生：是指PF等于343。
师：题目问，我们从组合体能够直接看到地球表面最远的点在什么位置？同学们想一想。
生：是指视线，在组合体F中的视线与地球相切时的切点就是所能看到的最远的点。
师：对，我们学习圆的有关知识时，知道当一条直线与圆相切的时候，我们要做什么？
生：连接圆心和切点，这样就可以得到半径OQ与FQ垂直，从而得到直角三角形FOQ。
师：题目问最远点Q与P点的距离是多少，那么在图形当中反映最远点Q与P点的距离是指哪一段？
生：这是一个圆，所以指的是弧PQ的长。
师：我们一起来回顾一下弧长公式，l = $\frac{n\pi r}{180}$。回忆下n表示什么？
生：n指的是弧所对的圆心角。
师：r表示什么？
生：r指的是这段弧所在圆的半径。
师：题目条件告诉我们，地球的半径约为6400千米，也就是图当中的OP和OQ等于6400。那么在弧长公式中，我们知道了半径，还需要求n才能得到l的值。那么来看一下圆心角，我们又可以如何求得呢？圆心角是在直角三角形FOQ中的一个锐角，为了求到这个锐角，我们就可以利用解直角三角形的知识，看一看我们在图当中标注出来的条件与要求的这个α有什么样的三角函数关系。
生：这里知道的是角α的邻边和斜边，所以我们可以利用角α的余弦来求得。
师：好，下面我们来看一下完整的解答过程。在直角三角形FOQ中，cosα = $\frac{OQ}{OF}$，计算出来约等于0.9491。利用计算器或者查公式查表的方法，我们可以求得α角约等于18.36度，再利用弧长公式即可以求到弧PQ的长约等于2051千米。这就解决了我们今天要问的问题，所以我们可以回答：由此可知，当组合体在P点正上方时，从中观测地球表面时的最远点距离P点约2051千米。
下面我们来小结一下利用解直角三角形解决实际问题的一般过程，结合我们刚才完成的例3，我们一起来回顾一下。第一，我们是要将实际问题抽象为数学问题，画出平面图形，转换为解直角三角形的问题。第二，根据问题中的条件，适当选用锐角三角函数等解直角三角形，从而得到数学问题的答案，最终就可以得到实际问题的答案。好，下面请同学们打开课本75页，我们一起来学习例4。这个问题中出现了俯角和仰角，我们一起来回顾一下俯角和仰角的概念。当我们在热气球上看楼的顶部，我们的视线就是AB，视线在水平线的上方，那么视线与水平线所成的角就是仰角，我们用α来表示。当我们在热气球中看楼的底部，那么AC就是我们的视线，这时视线在水平线的下方，那么视线与水平线所成的角我们记为β，这个角就是俯角。题目条件告诉我们α = 30度，β = 60度。题目告诉我们热气球与楼的水平距离为120米，是指图中的哪一段？
生：我们在热气球点A作楼的垂线，垂足为D，那么垂线段AD即为热气球到楼的水平距离120米。
师：题目问我们这栋楼有多高，也就是求BC长。我们看到题目的条件给出了α、β和AD的长，那么很自然我们就想到求BC的长，我们可以把它化为两部分，先求BD，再求CD。BD在直角三角形ABD中，知道了α的邻边要求α的对边，想一想用哪个三角函数？同样的道理我们也可以求得CD，最后计算出BC长。下面我们一起来看一下解答的过程。