师：同学们，大家好。今天我们来学习圆周角定理。回顾上节课，我们学习了圆心角，理解了顶点在圆心的角叫做圆心角，掌握了其性质并学会在圆中应用。除圆心角外，还有一类角，如图中∠PAQ，它顶点在圆上，且两边都与圆相交，我们把这类角称为圆周角。与其他概念学习一样，我们将从定义、性质、应用三个方面学习圆周角。根据定义，请同学们自己画一个圆周角。判断下图哪个是圆周角，并说明理由。
生：五个图形中，只有图3中的角是圆周角。因为图1、图2中角的顶点不在圆上，图4、图5中角的两边不都与圆相交，所以它们都不是圆周角。
师：非常好。圆周角需要满足两个特征：一、顶点在圆上；二、两边都与圆相交，这两个特征缺一不可。如图，圆O中的∠BAC，顶点A在圆上，两边分别与圆O交于点B和C，∠BAC就是圆周角。接下来，我们一起探究圆周角的性质。不改变BC的位置，在优弧BAC上再取点A'，得到圆周角∠BA'C，在优弧BAC上再取点A''，又得到圆周角∠BA''C。请思考，图中的圆周角有何特点？
生：它们所对的是同一条弧BC。
师：对，连接BO、CO，就可以得到弧BC所对的圆心角∠BOC。可以发现，圆周角∠BAC与圆心角∠BOC都对着同一条弧BC。下面我们探究它们之间的关系。请分别测量课本第85页图24.1 - 11中弧AB所对的圆周角∠ACB和圆心角∠AOB的度数。
生：测得∠ACB = 55度，∠AOB = 110度，发现∠ACB等于∠AOB的一半。
师：请用圆规画圆，记圆心为O，在圆上任取一条弧，作出这条弧所对的圆周角和圆心角，测量它们的度数。你能得到同样的结论吗？我们通过计算机软件对圆心角和圆周角进行测量，改变AB的大小，测量圆周角和圆心角的度数，再改变弧AB的大小，测量圆周角和圆心角的度数。通过测量，我们猜想：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。接下来我们需要证明这个结论。我们先把文字表述转换为图形和数学符号语言。请同学们自己画图，先画一个圆，记为圆O，任取一条弧BC，作出圆心角∠BOC，在圆上任取一点A，作出弧BC所对的圆周角∠BAC。求证：∠BAC等于∠BOC的一半。从结论考虑，角度出现倍数关系，而圆的半径相等，连接OA就能构造出等腰三角形。但是此图中点A的位置是任取的，如果沿AO所在的直线将圆对折，由于点A的位置不同，折痕会出现什么情况？请同学们动手操作，探究折痕的不同情况。我们也可以用计算机软件进行探究，通过动画观察圆心与圆周角的位置关系。
生：（动手操作、观察）
师：由于点A的位置不同，折痕共有三种不同情况，可以归纳为：折痕AO在圆周角的边上；折痕AO在圆周角内部；折痕AO在圆周角外部。只要说明这三种情况下∠BAC都等于∠BOC的一半，就能证明之前的猜想。让我们从最特殊的情况入手进行证明。如图一，当圆心O在圆周角的一条边上时，因为OA = OC，所以∠BAC = ∠C，而△AOC的外角∠BOC = ∠BAC + ∠C。通过等量代换，我们有∠BOC = 2∠BAC，所以可以写出∠BAC = 1/2∠BOC。在证明过程中，符号“?”读作“推出”，A ? B表示由条件A推出结论B，使用推出符号进行推理，也是一种常用的证明书写格式。当圆心O在圆周角内部时，我们思考如何转换为第一种特殊情况。连接AO并延长与圆O交于点D。我们能在图中找到与图一类似的情况。由OA = OC，可得∠CAO = ∠C，又由外角关系同样得到结论，∠CAO = 1/2∠COD，在折痕AD的左侧，同理可得∠BAO = 1/2∠BOD。两次相加，可得∠BAC是∠COD与∠BOD之和的一半，也就是说∠BAC = 1/2∠BOC，结论成立。当圆心O在圆周角外部时，同样先连接AO。观察发现此时有等腰三角形OAC，同理可推出∠CAO = 1/2∠COD。再观察发现△OAB是等腰三角形，可推出∠BAO = 1/2∠BOD，而所求的圆周角∠BAC要如何进行转换呢？仔细观察不难发现∠BAC是∠CAO与∠BAO之差。请同学们开动脑筋，课后自己完成证明。回顾推导过程，我们先对所有可能的情况进行分类讨论，再根据分类情况一一进行证明，最后归纳出结论：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，我们称之为圆周角定理。圆周角定理有广泛的应用，请先看练习一，先认真审题观察图形，弧BC所对的圆心角为∠BOC，所对的圆周角为∠BAC。根据圆周角定理，∠BOC是∠BAC的两倍，当已知∠BOC = 128度时，可求出∠BAC = 64度。反之，若知道∠BAC的度数是50度，也可以求出∠BOC = 100度。这样我们完成了题目。下面是练习二。同样先结合图形分析已知与未知条件，已知∠PAQ是圆周角，所对的弧为弧PQ，而所求的∠PNQ也是弧PQ所对的圆周角。连接OP、OQ，作出弧PQ所对的圆心角∠POQ，由圆周角定理，∠PAQ = 1/2∠POQ，且∠PNQ = 1/2∠POQ，故∠PAQ = ∠PNQ，所以∠PNQ的度数是41度。本题通过圆周角定理把同弧的两个圆周角问题转换为同弧的圆心角和圆周角的问题。推广这个结论，已知同弧所对的圆周角相等，那么等弧所对的圆周角有什么关系呢？由圆心角和圆周角的关系，不难想到等弧所对的圆周角也相等，这样我们得到圆周角定理的推论：同弧或等弧所对的圆周角相等。请同学们课后自己完成证明。再看练习三，由AB是直径，所以圆心角∠AOB为平角。根据圆周角定理可得其圆周角为90度。利用这个结论，可以很方便地在圆中构造出直角。反之，若圆周角为直角，其所对的弦是直径吗？若圆周角∠ACB = 90度，由圆周角定理得，其所对的圆心角为180度，故其所对的弧为半圆，AB为直径。这样我们得到：半圆或直径所对的圆周角是直角，反之，90度的圆周角所对的弦是直径，这也是圆周角定理的推论。练习四，如图，A、B、C、D四点都在圆O上，∠ACB = 105度，求∠ADB的度数。看图可知，圆周角∠ACB所对的弧为优弧ADB，圆周角∠ADB所对的弧为劣弧AB。两弧所对的圆心角之和恰为周角360度，所以∠ACB与∠ADB之和为360度的一半，即180度。已知∠ACB为105度，所以∠ADB为75度。像这样，如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆的内接多边形，这个圆叫做多边形的外接圆。如图，四边形ADBC是圆O的内接四边形，圆O是四边形ADBC的外接圆。现在探究圆内接四边形的四个角之间的关系。从图可知，无论ABCD在圆上的位置如何，∠ACB所对的弧为弧ABD，∠ABD所对的弧为弧ACB，弧ABD和弧ACB所对的圆心角之和一定是周角。所以∠ACB与∠ADB互补。用同样的方法可以发现∠CAD与∠CBD互补。所以我们可以得到以下结论：圆内接四边形对角互补。练习五，如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC、BD把它的四个内角分成8个角。这些角中哪些相等？本题相等的角较多，但认真观察会发现这8个角都是圆周角，于是可以从弧入手解决问题。弧BC所对的圆周角有∠2和∠7，根据圆周角定理的推论，∠2 = ∠7，同理有∠1 = ∠4，同理有∠3 = ∠6，同理∠5 = ∠8。解题完毕，请大家总结一下，快速、正确、不重不漏地找齐所有相等的圆周角的小窍门是应用圆周角定理的推论：同弧或等弧所对的圆周角相等。最后，让我们回顾一下本节课的内容，我们通过类比圆心角的方法理解了圆周角的定义，探究其性质并应用其解决问题。在探究和证明的过程中，我们先测量特殊值进行猜想，再通过分类讨论，用归纳思想证明了圆周角定理。在不同情境下，我们应用圆周角定理得到了4个有用的结论。特别的，当弧是半圆时，圆周角为直角，反之也成立。课后请完成课本第89页习题24.1复习巩固的第五、六、七题。课堂到此结束，谢谢大家的观看，再见。