师：同学们，今天我们学习九年级人教版数学第26章反比例函数的图像和性质第二课时。本节课学习目标如下：一是进一步理解和掌握反比例函数的图像和性质；二是灵活运用反比例函数的图像和性质解决问题；三是理解并运用反比例函数中k的几何意义；四是领会反比例函数的解析式与图像之间的联系，体会数形结合及转化的思想方法。本节课的学习重点有两个：一是灵活运用反比例函数的图像和性质解决问题；二是理解并运用反比例函数中k的几何意义。请同学们按下暂停键完成复习巩固。
一般来说，反比例函数$y = \frac{k}{x}$（k为常数，$k \neq 0$）的图像是双曲线，它具有以下性质：当$k > 0$时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小；当$k < 0$时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大。
我们分$k > 0$、$k < 0$两种情形研究反比例函数的图像和性质。k的符号决定反比例函数图像的位置以及y随x的变化趋势。因为$x \neq 0$，反比例函数的图像分为两支，所以要在每一个象限内讨论y随x如何变化。请同学们按下暂停键完成复习巩固练习。
师：请同学们回答，这4个反比例函数的k值分别为多少？第一个$k = -2 < 0$；第二个$k = \frac{1}{3} > 0$；第三个$k = -10 < 0$；第四个$k = \frac{3}{100} > 0$。因为当$k > 0$时，反比例函数的图像位于第一、第三象限，所以图像在第一、第三象限的反比例函数，其$k > 0$，第一小题答案是4。因为当$k < 0$时，反比例函数的图像位于第二、第四象限，所以图像位于第二、第四象限的反比例函数，其$k < 0$，第二小题答案是1、3。由练习一可知，可以由k的值确定函数图像的位置，也可以由函数图像所在的象限确定k的取值范围。请同学们按下暂停键完成复习巩固练习二。
师：因为当$k < 0$时，在每一个象限内，y随x的增大而增大。点A、B是其图像上同一象限内的点，若$x_1 < x_2$，则$y_1 < y_2$，说明y随x的增大而增大，所以$k < 0$，第一小题答案是1、3。因为当$k > 0$时，在每一个象限内，y随x的增大而减小。点A、B是图像上同一象限内的点，若$x_1 < x_2$，则$y_1 > y_2$，说明y随x的增大而减小，所以$k > 0$，第二小题答案是2、4。由练习2可知，k的值可以确定函数的变化规律，同样，函数的变化规律也可以确定k的取值范围。下面我们一起来学习例一，请同学们按下暂停键阅读例一的题目。
师：第一小题，请同学们回答，点A在第几象限？
生：点A在第一象限。
师：因为点A（2，6）在第一象限，所以这个函数的图像位于第一、第三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小。第二小题，请同学们思考一下，如何判断一个点是否在函数的图像上？指的是点的坐标是否满足这个函数的解析式。我们是如何求函数的解析式的？一般用待定系数法，求函数解析式的一般步骤是设、列、解、代。所以我们从用待定系数法求反比例函数的解析式入手，设这个反比例函数的解析式为$y = \frac{k}{x}$。因为点A（2，6）在其图像上，所以点A的坐标满足$y = \frac{k}{x}$，即$6 = \frac{k}{2}$，解得$k = 12$。所以这个反比例函数的解析式为$y = \frac{12}{x}$。
有了这个反比例函数的解析式，下面我们逐个来判断点B、点C、点D是否在这个函数的图像上。当$x = 3$时，$y = \frac{12}{3} = 4$，所以点B在函数$y = \frac{12}{x}$的图像上；当$x = -2\frac{1}{2}$时，计算得$y = -4\frac{4}{5}$，所以点C在函数$y = \frac{12}{x}$的图像上；当$x = 2$时，$y = \frac{12}{2} = 6 \neq 5$，所以点D不在函数$y = \frac{12}{x}$的图像上。因为反比例函数的图像经过点A（2，6），根据函数的定义，我们知道当$x = 2$时，y有唯一确定的值6与之对应。由此也可以知道点D不在这个函数的图像上。
师：综上，我们来解答第二小题。因为点B、C的坐标都满足$y = \frac{12}{x}$，点D的坐标不满足$y = \frac{12}{x}$，所以点B、C在函数$y = \frac{12}{x}$的图像上，点D不在这个函数的图像上。下面我们对例一做一个小结，由点的坐标我们可以判断函数图像的位置，这是一个由数及形的过程。由点的坐标，我们还可以用待定系数法求函数的解析式。请同学们按下暂停键阅读例2的题目。
师：请同学们看图回答，函数的一支位于第几象限？
生：位于第一象限。
师：因为这个函数的图像的一支位于第一象限，所以另一支必位于第三象限。函数的图像所在的位置与解析式中哪一个量有关？
生：与k有关。
师：这个函数的解析式的k由哪个式子表示？
生：m - 5。
师：因为这个函数的图像位于第一、第三象限，所以$m - 5 > 0$，解得$m > 5$。第二小题，在这个函数的图像的某一支上，任取点A和点B，这说明了点A和点B在同一个象限内。因为当$k > 0$时，在每一个象限内，y随x的增大而减小。所以我们可以得到这一小题的解答。因为$m - 5 > 0$，所以在这个函数图像的任一支上，y随x的增大而减小。因此当$x_1 > x_2$时，$y_1 < y_2$。请同学们思考，如果题目中没有说明是在某一支上任取两点，也就是说在这个函数的图像上任取点A和点B，那么这个问题又该如何解答呢？我们知道反比例函数的图像有两支，所以点A和点B有可能在图像的同一支上，也有可能不在同一支上，所以我们要分类讨论。当A、B两点在同一支时，由反比例函数的性质，当$k > 0$时，在每一个象限内y随x的增大而减小。所以，若$x_1 > x_2$，则$y_1 < y_2$。当A、B两点不在同一支时，若$x_1 > x_2$，说明点A在第一象限，点B在第三象限。由图像我们可知，$y_1 > 0$，$y_2 < 0$，所以$y_1 > y_2$。我们对例2做一个小结。由图像的位置可以确定k的取值范围，这是一个由形到数的过程。要注意“在每一个象限内”这一限制条件，如果有这个条件，可以利用性质回答y随x的变化情况；如果没有这个条件，则要分类讨论，再通过性质或图像作答。请同学们按下暂停键，完成课堂练习。
师：第一题，已知点A、点B在反比例函数$y = \frac{1}{x}$的图像上，这个函数的k值为多少？
生：$k = 1$。
师：如果$x_1 < x_2$，而且$x_1$、$x_2$同号，这说明什么？
生：说明A、B两点在同一象限内。
师：当$k > 0$时，在同一象限内，y随x的增大而减小，所以$y_1$与$y_2$的大小关系是？
生：$y_1 > y_2$。
师：第2小题，在反比例函数中有两点A、B，当$x_1 < 0 < x_2$时，有$y_1 > y_2$，这说明什么？
生：说明A、B不在同一象限内。$x_1 < 0 < x_2$指的是$x_1 < 0$，$x_2 > 0$。
师：我们在图像上标出$x_1$、$x_2$的位置，因为A、B两点不在同一象限内，$y_1 > y_2$，所以$y_1$在y轴的正半轴，$y_2$在y轴的负半轴，也就是说，$y_1 > 0$，$y_2 < 0$。由此可见，A点在第二象限，B点在第四象限。函数的图像在第二、第四象限，所以$1 - m < 0$，解得$m > 1$。下面我们探究一个规律，请同学们按下暂停键完成第一个探究。
在反比例函数$y = \frac{4}{x}$的图像上，取点P、R分别向x轴、y轴作垂线，围成的矩形的面积为4。取点Q（ - 4， - 1）分别向x轴、y轴做垂直，围成的矩形面积为4，$S_1 = S_2$，猜想矩形面积S与k的关系。
生：反比例函数$y = \frac{4}{x}$，$k = 4$，猜想$S = |k|$。
师：请同学们按下暂停键完成第二个探究。
在反比例函数$y = -\frac{4}{x}$的图像上，取点P（ - 2，2）分别向x轴、y轴作垂线，围成的矩形的面积为4。取点Q（4， - 1）分别向x轴、y轴做垂线，围成的矩形的面积为4，$S_1 = S_2$。猜想矩形面积S与k的关系。
生：反比例函数$y = -\frac{4}{x}$，$k = -4$，猜想$S = |k|$。
师：请同学们看我们的两个探究，思考我们能不能用一个式子把两个猜想统一起来？
生：可以用绝对值，若点P是反比例函数$y = \frac{k}{x}$图像上任意一点，作PA垂直于x轴，作PB垂直于y轴，矩形AOBP的面积与k的关系是矩形AOBP的面积等于$|k|$。
师：下面我们来证明这个猜想，因为矩形的面积等于长乘以宽，所以等于$AO×BO$。我们常用绝对值表示线段的长度，所以等于$|x|×|y| = |xy|$。由反比例函数$y = \frac{k}{x}$可知，$xy = k$，所以$|xy| = |k|$。这样我们就得到一个结论，矩形AOBP的面积等于$|k|$，这就是k的几何意义。请同学们利用k的几何意义完成练习3的解答。
师：因为A、B、C三点是函数$y = \frac{1}{x}$的图像上的点，过这三点分别向x轴、y轴作垂线。由$k = 1$，可知这三个矩形的面积都等于1，所以答案选C。请同学们按下暂停键思考练习。
师：如图，点A在反比例函数$y = \frac{k}{x}$的图像上，AC垂直x轴于点C，且三角形AOC的面积为2，求k的值。我们一般用待定系数法求k需要什么条件？
生：需要函数图像上的点的坐标。
师：题目中有这样的条件吗？
生：没有。
师：我们还有别的方法求k的值吗？题目的已知条件是三角形AOC的面积等于2，我们在推导k的几何意义时用到了矩形的面积公式以及反比例函数解析式中的乘积型。我们不妨从三角形AOC的面积入手，由三角形的面积公式可知，三角形的面积等于$\frac{1}{2}$底乘以高，所以三角形AOC的面积等于$\frac{1}{2}OC×AC$。我们用绝对值来表示线段的长，等于$\frac{1}{2}|x|×|y| = \frac{1}{2}|xy|$。由反比例函数$y = \frac{k}{x}$可知，$xy = k$，所以三角形AOC的面积等于$\frac{1}{2}|k|$。由三角形AOC的面积为2，得$k = ±4$。请同学们思考k的取值范围与什么有关？
生：与函数的图像和性质有关。
师：因为图像在第一、第三象限，所以$k > 0$，$k = 4$。类似k的几何意义中矩形的面积推导，我们也推导出了三角形AOC的面积等于$\frac{1}{2}|k|$。请同学们观察三角形AOC的三个顶点是什么特殊点？
生：A是反比例函数图像上一点，点C是反比例函数图像上一点向坐标轴作垂直后的垂足，点O是原点。
师：这样我们得到k的几何意义的第二个结论，由反比例函数图像上的点与垂足、原点围成的三角形面积等于$\frac{1}{2}|k|$。下面我们对练习4做一个小结。利用k的几何意义，我们可以由反比例函数的解析式求具有某些特征的矩形或三角形的面积。由这些特殊矩形或三角形的面积，我们也可以求反比例函数的解析式。我们对整节课做个总结。一是运用反比例函数的图像和性质解决问题，由k的值可以确定反比例函数的图像和性质，由反比例函数的图像和性质可以确定k的取值范围，这体现了数形结合的思想方法。二是理解并运用k的几何意义，在反比例函数图像上任取一点，分别向x轴、y轴作垂线后，与坐标轴围成的矩形的面积，即矩形AOBP的面积等于$|k|$；连接PO，三角形AOP的面积等于$\frac{1}{2}|k|$。课堂到此结束，谢谢观看，再见。