师：同学们好，今天我们一起来学习人教版八年级下册第18章18.1第6课平行四边形的判定三。下面明确这节课的学习目标：一、理解三角形中位线的概念，探索并证明三角形的中位线定理；二、能应用三角形的中位线定理解决相关问题。
前面研究平行四边形问题时，常把它分成几个三角形，利用三角形全等性质研究平行四边形相关问题。今天，我们将利用平行四边形研究三角形相关问题。三角形各边中点有特殊作用，先来回顾三角形一个中点的情况。
如图1，DC是△ABC的中线，思考以下问题：
第一，AD与BD有什么数量关系？根据三角形中线定义，可得AD = BD = 1/2 AB。
第二，△ADC与△BDC面积有什么关系？因为AD = BD，此时两个三角形等底同高，所以它们面积相等，即S△ACD = S△BCD = 1/2 S△ABC。
第三，延长CD到M，使MD = CD，连接AM、BM，四边形AMBC是什么四边形？倍长中线是利用三角形中线构造全等三角形的常用方法。由D是AB中点及作图可知，AD = BD，MD = CD。根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”，可得四边形AMBC是平行四边形。所以，倍长中线还能构造平行四边形，用平行四边形相关知识解决问题。
进一步思考，如果题目条件增加三角形一边的中点，会有什么结论呢？
如图2，在△ABC中，DC是△ABC的中线，点E是AC中点。此时，除根据中点定义得到线段相等结论外，连接DE，可得△ACD的中线DE，即DE平分△ACD面积，所以S△ADE = S△CDE = 1/2 S△ACD。而△ACD面积是△ABC面积的一半，所以△ADE面积是△ABC面积的1/4。
由此可见，三角形的中线平分三角形面积，连接三角形两边中点的线段可得到一个面积为原三角形面积1/4的三角形。连接三角形两边中点的线段DE在△ABC中有特殊意义，下面给线段DE下定义。
如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC中点，连接DE，像DE这样连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。那么线段DE与三角形的边有什么关系呢？根据定义，点D平分△ABC的边AB，点E平分△ABC的边AC，那么DE与△ABC第三边BC有什么关系呢？两条线段关系有位置关系和数量关系，通过观察可猜想DE与BC平行，那么DE和BC数量关系如何？通过平移线段BC，可猜想DE是BC的一半。所以，猜想三角形的中位线平行于三角形第三边，且等于第三边的一半。这个猜想是否成立，需经过严谨推理论证，下面一起尝试证明。
这个猜想结论有两个，对于线段平行，可用同位角、内错角相等或同旁内角互补证明，也可运用最近学习的平行四边形对边平行来证；对于线段倍分关系，通常用截长补短法，然后证明线段相等，证明线段相等方法很多，比如平行四边形对边相等，而图中无现成平行四边形，接下来尝试构造与DE、BC有关的平行四边形。
那么该如何构造平行四边形呢？前面分析提到可用截长补短法证明线段倍分关系。若用截长法，比如在BC上截取BF = DE，或过点E作EF平行于AB，通过分析发现缺少条件难以完成证明。下面尝试用补短法，即倍长DE。
通过倍长DE，可得DE = EF，点E是AC中点。根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”，顺次连接A、D、C、F可得到平行四边形ADCF。根据平行四边形性质，对边平行且相等，可得CF平行且等于AD。又因为D是AB中点，所以AD = BD，进而得到CF平行且等于BD。
根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，可得平行四边形BCFD。这样就得到需要的两个结论。下面看详细证明过程：
首先写出辅助线做法，延长DE到F，使EF = DE，连接AF、CF、DC。由E是AC中点及添加辅助线方法可得AE = EC，DE = EF。根据平行四边形判定“对角线互相平分的四边形是平行四边形”，可得四边形ADCF是平行四边形。根据平行四边形性质“对边平行且相等”，可得CF平行且等于AD。因为D是AB中点，所以AD = BD，从而CF平行且等于BD。
再根据平行四边形判定“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，所以四边形BCFD是平行四边形，进而得到DF平行且等于BC。由作图可知，DE = 1/2 DF，所以DE平行于BC，DE = 1/2 BC。这里出现一个新符号“平行且等于”，表示两条线段既平行又相等。