师：各位同学，大家好。今天我们一起来学习八年级下册第十六章二次根式的第四课时。首先来看这节课的学习目标：一、知道二次根式中被开方数大于等于0，并能利用它解决简单问题；二、了解二次根式√a大于等于0，并会运用二次根式的性质进行化简及计算。
师：首先看问题一，下列代数式在实数范围内有意义吗？√5表示5的算术平方根，所以它在实数范围内是有意义的，其中5叫做被开方数。接下来对被开方数进行第一次变化，52 = 25，所以√52表示25的算术平方根，这个代数式在实数范围内也是有意义的。进行第二次变化，将被开方数变为(-5)2 ，(-5)2也等于25，所以√(-5)2 也表示25的算术平方根，这个代数式同样有意义。
师：接下来，当把括号去掉后，这个代数式在实数范围内有意义吗？细心的同学不难发现，去掉括号后，运算变成了52的相反数，结果是 -25。负数没有算术平方根，所以这个式子在实数范围内没有意义。最后来看一个特殊的数0，√0表示0的算术平方根，所以√0在实数范围内是有意义的。
师：看完被开方数是具体实数的情况后，再来研究当被开方数中含有字母时，字母应该满足怎样的条件，才能使下列代数式在实数范围内有意义。先来看第一个式子√x，√x表示x的算术平方根，所以当x≥0时，√x在实数范围内才有意义。当把被开方数用多项式x2 + 1表示时，观察被开方数的结构，发现它是由一个平方数和一个正数的和构成。对于任意实数，x2都会大于等于0，再加1可以确定x2 + 1是正数，有算术平方根，所以这个二次根式x的取值范围是任意实数。
师：接下来看这个代数式√(2 - x)，要满足√(2 - x)有意义，需要满足被开方数大于等于0，也就是要满足2 - x≥0，从而得到一个不等式。该如何解这个不等式呢？由不等式性质可知，第一步，先将2移到不等式的右边，变成 - x≥ - 2。接下来不等式两边同时除以 - 1，这里要注意不等式两边同时除以一个负数，不等号方向需要改变，所以这个不等式的解集是x≤2，也就是当x≤2时，√(2 - x)在实数范围内才有意义。
师：基于以上知识，来看2019年广州市中考的第12题，代数式√(x - 8)分之1有意义时，x应满足的条件是什么？分析问题需要先观察，观察什么呢？观察这个代数式的结构，这个代数式中包含二次根式，且二次根式在分母中，所以代数式有意义的条件是分母不为0和被开方数大于等于0，从而得到不等式组：x - 8≠0，x - 8≥0，分别解得x≠8，x≥8。不等式组的公共解集是x＞8。
师：在这个问题的基础上，继续思考，当代数式变成(x - 8)分之1 + √(x - 8)时，这个代数式有意义，x应满足的条件是什么呢？从例题2的分析可知，代数式有意义的条件是代数式里的结构均要有意义，这个代数式中包含分式和根式，所以同样要满足分母不为0和被开方数大于等于0。所以这道题的分析和解答与例题2是一样的。
师：通过以上分析，当把这个分式变为根式，也就是代数式中包含两个根式时，会解决了吗？请看例题3，使式子√(2 - x) + √(1 + x)有意义的x的取值范围是什么？通过刚才的分析，不难发现，要满足代数式有意义，就是要满足代数式里包含的所有结构都要有意义。而这个代数式中包含两个根式，所以需满足两个根式有意义，即满足两个被开方数都要大于等于0。由此得到不等式组2 - x≥0，x + 1≥0，分别解得x≤2，x≥ - 1。所以这个不等式组的公共解集是 - 1≤x≤2。
师：那么如果当两个根式的被开方数之间具有某种特殊关系时，情况又会有何不同呢？我们来看例题4，已知y = √(2 - x) + √(x - 2) + 3，求x + 2y的值。从题面条件知道求值是要求出某个具体的数，但是这个问题中有两个未知数，且只有一个方程，所以无法用解方程的方式来解决。继续观察这个等式有什么特殊性呢？发现这个等式中包含两个二次根式。等式成立隐含的意思是两个二次根式是有意义的，也就是满足两个被开方数大于等于0，可得两个不等式：2 - x≥0，x - 2≥0，分别解得x≤2，x≥2，所以这个不等式组的解集只有一个数，x = 2。