师：亲爱的同学们，大家好！今天我们一起来学习人教版八年级上册第11单元三角形复习。先来了解一下今天的学习目标：一、复习本章内容，整理知识，形成知识体系，体会研究几何问题的思路和方法；二、进一步发展推理能力，能够有条理地思考并解决问题。
师：请同学们回顾一下，对于三角形的学习，我们是如何展开的呢？首先，我们学习了三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。接着，我们从边、角和重要线段三个方面进行研究，得到了它的性质。边的性质有：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。角的性质有：三角形内角和等于180度，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。另外，我们还学习了三条重要线段，分别是三角形的高、中线以及角平分线。最后，我们通过转化，将多边形转化为三角形，学习了多边形的内角和与外角和。
师：基于以上知识，我们来看“以题点知”。问题一：若三角形的两边分别为3和5，则第三边n的取值范围是多少？根据三角形边的性质，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，于是我们可以得到n大于5 - 3，小于5 + 3，也就是n大于2小于8。
师：问题二：如图，在三角形ABC中，∠BAC = 80度，∠ABC = 60度，AD是三角形ABC的角平分线，则∠C等于多少度？∠ADC等于多少度？要求∠C的度数，首先要找到与∠C相关的三角形。观察图形，我们发现与∠C相关的三角形有两个，分别是三角形ADC以及三角形ABC。到底选哪一个更加简便呢？根据条件，题目给了我们∠BAC = 80度，∠ABC = 60度，显然我们优先选择三角形ABC。根据三角形内角和等于180度，我们可以得到∠C = 180度 - ∠BAC - ∠ABC，接着把角的度数代入，可以得到∠C = 40度。
师：接下来我们考虑如何求∠ADC。类似地，找到与∠ADC相关的三角形，分别有三角形ADC以及三角形ABD。首先在三角形ADC中，根据三角形内角和等于180度，我们可以得到∠ADC = 180度 - ∠DAC - ∠C，其中∠C = 40度，前面我们已经求过了，那么我们的目标就是要求∠DAC。怎么求呢？根据条件，AD是三角形ABC的角平分线，∠BAC = 80度。根据角平分线的性质，我们可以得到∠DAC = 1/2 × 80度 = 40度。最后解得∠ADC = 180 - 40 - 40 = 100度。
师：请同学们思考一下，∠ADC还有其它的解法吗？观察图形我们可以得到，∠ADC其实同时也是三角形ABD的一个外角，根据外角的性质，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，于是我们可以得到∠ADC = ∠ABC + ∠BAD，其中∠ABC = 60度，条件已经告诉我们了，所以我们的目标就是要求∠BAD。类似的，根据角平分线的性质，我们可以得到∠BAD = 1/2 × 80度 = 40度，最后通过计算得到∠ADC = 60 + 40 = 100度。
师：在刚才问题2中，我们发现求三角形的角，可以把它转化为利用三角形的内角和或者通过外角的性质来求。在刚才的“以题点知”中，我们已经复习了三角形边和角的性质，接下来我们继续来研究在等腰三角形中，边和边之间会有怎样的关系呢？请看典型例题。
师：例一：已知等腰三角形的两边长分别为9和4，则三角形的周长是多少？要求三角形的周长，我们的目标就是要把三条边都求出来。题目已经告诉了我们两条边，所以我们的目标就是把第三条边求出来。既然是等腰三角形，给的两条边也没有指定哪条是底或者哪条是腰，所以我们必须考虑分类讨论，有两种情况。第一种情况是当9是底的时候，腰是4；第二种情况，当9是腰，4是底的时候。根据等腰三角形腰相等的性质，第一种情况我们可以得到它的第三条边是4；第二种情况，第三条边是9。
师：三条边都求出来了，这样就可以求出对应的周长了吗？还不行，我们知道任意三条线段并不一定能够组成三角形，还必须用三角形的三边关系来验证。在第一种情况中，4 + 4＜9，两边之和应该大于第三边，但是这里是小于第三边，所以这种情况不成立。第二种情况，4 + 9＞9，两边之和大于第三边，这种情况是成立的，对应的周长我们就可以求出来了，4 + 9 + 9 = 22。
师：在例一中我们可以得到这样的学习启示，对于等腰三角形，在没有指定哪条是底哪条是腰的情况下，我们要考虑分类讨论，求出来三条线段之后，我们必须要用三角形的三边关系来进行验证是否可以组成三角形。
师：在刚才的例一中，我们是已知等腰三角形的两条边求周长，接下来我们来做一个变式。如果知道周长以及另外两边之间的关系，怎么求边长呢？请看变式。小明用一条长20厘米的细绳围成了一个等腰三角形，他想使这个三角形中的一边长是另一边长的两倍，这个三角形的各边的长分别是多少？
师：要求三边的长，三边都不知道长度，我们可以考虑设未知数。设较短的边长为x厘米，则较长的边长为2x厘米。由上一题的经验我们可以得到，对于这个等腰三角形，我们必须考虑分类讨论，较短的边有可能是腰，也有可能是底。当较短的边是腰的时候，那么底就是2x；当较短的边是底的时候，那么腰就是2x。接下来我们就着重来研究这两种情况。