师：同学们，今天我们来共同学习弧弦圆心角。首先请大家思考，把圆绕圆心旋转180度，所得的图形与原图形重合吗？把圆绕圆心旋转任意一个角度呢？
生：圆绕圆心旋转180度所得的图形能与原图形重合，因为圆是中心对称图形，圆心就是它的对称中心。而且把圆绕圆心旋转任意一个角度所得的图形都能与原图形重合。
师：没错，这说明圆具有旋转不变性。今天我们就利用圆的旋转不变性，看看还能得到圆的哪些其他性质。我们先来学习一个概念——圆心角。我们把顶点在圆心的角叫圆心角。如图，∠AOB就是圆O的一个圆心角。现在我们来共同研究，在同一个圆中，相等的圆心角所对的弧、弦之间的关系。思考，如图，在圆O中，当圆心角∠AOB = ∠A′OB′时，它们所对的弧AB和弧A′B′、弦AB和弦A′B′相等吗？为什么？
生：容易看出它们都相等。
师：那么如何证明呢？我们将∠AOB连同弧AB绕圆心O旋转，使射线OA与OA′重合。因为∠AOB = ∠A′OB′，所以射线OB与OB′重合。又因为半径OA = OA′，OB = OB′，所以点A与点A′重合，点B与点B′重合。因此弧AB和弧A′B′重合，弦AB和弦A′B′重合，即弧AB = 弧A′B′，弦AB = 弦A′B′。这样我们就得到了，在同一个圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。那我们思考，刚才研究的是在同一个圆中，在等圆中是否也成立呢？
生：对于等圆，将两圆叠合在一起，把圆心O与O′重合，点A与点A′重合，同样可以得到点B与点B′重合，所以在等圆中以上结论也成立。
师：很好，那么在同一个圆中的前提可以改为在同圆或等圆中。我们再思考，可以去掉在同圆或等圆中这个前提吗？
生：由图看出，显然不能去掉这个前提，否则当圆心重合后，由于半径不等，点A和点A′，点B和点B′不能重合，结论都不成立。
师：没错。那么在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中如果有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量有什么关系？根据圆的旋转不变性，利用前面的证明方法，我们不难得到：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等；在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧也分别相等。这就是我们今天共同学习的弧弦圆心角定理。在以上的研究过程当中，我们有弧、弦、圆心角三组量。在同圆或等圆中，如果其中一组量相等，我们就可以推出其余的两组量也相等，简称为“知一推二”，这为我们证明弧等、弦等、圆心角等提供了新的方法。下面我们来做个基础练习，巩固刚刚所学的定理。
如图，AB、CD是圆O的两条弦，如果弦AB = 弦CD，那么根据刚刚所学的弧弦圆心角定理可以得到什么？
生：弧AB = 弧CD，圆心角∠AOB = ∠COD。
师：如果弧AB = 弧CD呢？
生：弦AB = 弦CD，圆心角∠AOB = ∠COD。
师：如果圆心角∠AOB = ∠COD呢？
生：弦AB = 弦CD，弧AB = 弧CD。
师：如果AB = CD，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，OE与OF相等吗？为什么？我们把圆心到弦的垂线段的长度叫做这条弦的弦心距，OE、OF的长度分别是AB、CD的弦心距。
生：OE = OF。想要证明两条线段相等，可以通过证明它们所在的三角形全等，即想要证明OE = OF，可以通过证明Rt△AOE和Rt△COF全等。因为OE⊥AB，OF⊥CD，由垂径定理可得，AE、CF分别是AB、CD的一半。因为AB = CD，所以AE = CF。又因为半径OA = OC，可由HL得Rt△AOE与Rt△COF全等，从而得到OE = OF。
师：接下来我们共同完成一道典型例题。如图，在圆O中弧AB = 弧AC，∠ACB = 60°，求证：∠AOB = ∠BOC = ∠AOC。
生：根据弧弦圆心角定理，在同一个圆中，想要证明三个圆心角相等，可以通过证明它们所对的弧或弦相等得到。因为弧AB = 弧AC，可由等弧推等弦得到弦AB = 弦AC，即△ABC是等腰三角形。又因为∠ACB = 60°，所以△ABC是等边三角形，即AB = BC = CA，再由等弦推出等圆心角，从而得到∠AOB = ∠BOC = ∠AOC。