师：同学们好，今天我们一起来学习一元二次方程根的判别式。我们的学习目标有三个：一是了解一元二次方程根的判别式；二是理解并运用一元二次方程根的判别式的意义及作用；三是经历探究过程，体会转换和分类讨论的数学思想。学习重点是根的判别式及其应用。
在上新课之前，我们先来回顾一些内容。解一元二次方程有哪几种方法？
生：有直接开方法、配方法、公式法和因式分解法。
师：那一元二次方程的根有几种情况呢？
生：有三种。一种是有两个不等的实数根，一种是有两个相等的实数根，还有一种是无实数根。
师：在不解方程的情况下，有没有快速判断方程根情况的方法？
生：可以用前几节课所学的一元二次方程根的判别式进行快速判断。
师：接下来我们回顾一下一元二次方程根的判别式。一般来说，$b^2 - 4ac$叫做一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$（$a≠0$）根的判别式，通常用希腊字母$\Delta$表示，即$\Delta = b^2 - 4ac$。当$\Delta > 0$时，方程有两个不等的实数根；当$\Delta = 0$时，方程有两个相等的实数根；当$\Delta < 0$时，方程无实数根。接下来我们做一个巩固练习。
不解方程，利用根的判别式判断下列方程根的情况。第一道方程$x^2 + \sqrt{2}x + \frac{1}{2} = 0$，这道方程是一般式，我们直接列出各项系数，这里$a = 1$，$b = \sqrt{2}$，$c = \frac{1}{2}$。带入$\Delta = b^2 - 4ac$计算得$0$，所以该方程有两个相等的实数根。
第二道方程不是一般式，我们先要移项合并同类项化为一般式，得$2x^2 + 2x + 1 = 0$，列出各项系数$a = 2$，$b = 2$，$c = 1$，带入$\Delta$化简得$-4$，所以该方程无实数根。
接着看第三个方程，这道方程有括号，我们先要去括号移项合并同类项，化为一般式得$x^2 - 4x - 2 = 0$，列出各项系数$a = 1$，$b = -4$，$c = -2$，带入$\Delta$化简得$24 > 0$，所以该方程有两个不等的实数根。
同学们通过这道练习，是不是能体会到利用根的判别式快速判断一元二次方程根情况的优越性了呢？那根的判别式还有哪些作用？接下来看经典例题。
已知$x^2 - 2x - k = 0$是关于$x$的一元二次方程。第一小问，若该方程无实数根，则$k$的取值范围是什么？这道题目明确告诉我们方程根的情况了，所以可以用判别式解决问题。先列出一元二次方程各项系数，这里$a = 1$，$b = -2$，$c = -k$，同学们检查一下自己写对了吗？接着我们带入$\Delta$化简得$4 + 4k$，因为一元二次方程无实数根，所以$\Delta < 0$，即$4 + 4k < 0$，解得$k < -1$。
接着看第二小问，若该方程有两个相等的实数根，则$k$的取值是多少？因为一元二次方程有两个相等的实数根，此时$\Delta = 0$，即$4 + 4k = 0$，解得$k = -1$。同学们，你们都解对了吗？
接下去看第三小问，若该方程有两个不相等的实数根，则$k$的取值范围是什么？因为二次方程有两个不等的实数根，所以此时$\Delta > 0$，即$4 + 4k > 0$，解得$k > -1$。
接着看最后一问，若该方程有两个实数根，则$k$的取值范围是什么？有细心的同学已经发现了，这里“有两个实数根”跟第三问“有两个不等的实数根”有所不同。不同在哪里呢？同学们思考一下。
生：两个实数根可能是两个不等的或者两个相等的实数根。
师：对，所以此时$\Delta$应该是大于或等于$0$，即$4 + 4k \geq 0$，解得$k \geq -1$，同学们，你们解对了吗？下面我们来小结一下这道例题。这个例题告诉我们，只要明确知道一元二次方程根的情况，就可利用判别式的符号确定方程中字母系数的取值范围或值。特别的，如果一元二次方程有两个实数根，则意味着有两个不等的或者两个相等的实数根两种情况，此时$\Delta \geq 0$，反之亦然。
接下来看一道变式训练。已知关于$x$的一元二次方程$kx^2 - 2x - 1 = 0$有两个不相等的实数根，则$k$的取值范围是多少？这道题目我们先列出各项系数，这里$a = k$，$b = -2$，$c = -1$。带入$\Delta$化简得$4 + 4k$，因为二次方程有两个不等的实数根，则$\Delta > 0$，化简得$k > -1$。
那答案是选$k > -1$吗？这时候同学们要特别注意了，题目说该方程是一个一元二次方程，根据一元二次方程的定义，二次项系数不为$0$，这里指$k ≠ 0$，所以最终结果是$k > -1$且$k ≠ 0$。答案选这个，你们选对了吗？这道变式训练提醒我们，涉及到一元二次方程的时候，一定要特别注意二次项系数不为$0$这个隐含条件。
接下去看例题二。不解方程判断关于$x$的一元二次方程$x^2 + 2\sqrt{2}kx + k^2 = 0$根的情况。这道题目要我们判断方程根的情况，也就是说要先确定$\Delta$的符号。先列出一元二次方程各项系数，$a = 1$，这里$b = 2\sqrt{2}k$，$c = k^2$，同学们先检查一下自己写对了吗？接着带入$\Delta$化简得$4k^2$，这个代数式如何跟$0$进行大小比较呢？
生：可以利用平方的非负性，因为$k^2 \geq 0$，所以$4k^2 \geq 0$。
师：所以此时$\Delta \geq 0$，方程有两个实数根。
同学们，通过这个例题，你们能自己总结出判断一元二次方程根情况的基本步骤吗？
生：第一步先化为一般式，写出$a$、$b$、$c$的值；第二步求出$\Delta$的值；第三步确定$\Delta$的符号；第四步判断根的情况。判断$\Delta$符号的时候，如果$\Delta$是个确定的数值，可以直接判断符号；如果像这个例题一样是代数式，就需要借助平方的非负性判断符号。
师：非常好。所以接下来同学们可以尝试用这种方法来做一下练习。
一，已知$x^2 - kx + k - 2 = 0$是关于$x$的一元二次方程。求证无论$k$取何值，这个方程总有两个不相等的实数根。请同学按下暂停键思考2分钟。好的，这题目虽然问法跟之前直接判断方程根的情况有所不同，但实质都是判断方程根的情况，所以要先确定$\Delta$的符号。为此先列出一元二次方程各项系数，这里$a = 1$，$b = -k$，$c = k - 2$。同学们先检查一下自己写对了吗？接着带入$\Delta$去括号化简得$k^2 - 4k + 8$，这个代数式如何跟$0$进行大小比较呢？我们从例题2可以得到提示，利用平方的非负性，对这个代数式进行配方。我们保留二次项和一次项加上一次项系数一半的平方得到$4$，原本的常数项是$8$，为了保持不变，还需要再加上$4$。此时前三项可以配成$(k - 2)^2$，后面再加上$4$，因为$(k - 2)^2 \geq 0$，加上$4$之后就大于$0$了，所以$\Delta > 0$。所以无论$k$取何值，这个方程总有两个不相等的实数根。通过这道练习，同学们现在可以掌握这种判断一元二次方程根情况的方法了吧。特别要留心的是，因为在判断$\Delta$的符号的时候，经常会用到平方的非负性，所以需要熟练掌握配方法。
练习二，已知$x^2 - (2k + 1)x + k^2 + k = 0$是关于$x$的一元二次方程。第一小问，求证方程有两个不相等的实数根。这道题目，我们列出各项系数，$a = 1$，$b = -(2k + 1)$，$c = k^2 + k$。同学们先检查一下自己写对了吗？接着带入$\Delta$，这里先需要利用完全平方公式去括号，最后化简得$1 > 0$，所以方程有两个不相等的实数根。
接着看第二小问。若$\triangle ABC$两边$AB$、$AC$长是这个方程的两个实数根，第三条边$BC$长为$5$。当$\triangle ABC$是等腰三角形时，求$k$的值。请同学按下暂停键思考2分钟。好的，有些同学可能觉得这题目挺长的，其实我们可以找到个显性条件，$\triangle ABC$是等腰三角形，且一条边$BC$的长为$5$，但它没告诉我们$BC$边是底边还是腰，所以需要分类讨论。
当$BC$为三角形的底边时，此时$AB$、$AC$是它的两条腰，长度相等。而$AB$和$AC$是方程的两个实数根，意味着方程有两个相等的实数根。但这跟第一问证出来的方程有两个不等的实数根相矛盾，所以这种情况不存在。
第二种情况，当边$BC$是等腰三角形的腰时，此时$AB$、$AC$都有可能是它的腰长度为$5$，而$AB$和$AC$是这个方程的两个实数根，所以意味着这个方程必有一个根是$5$。把$5$带入原方程算得$k = 5$。那这个题是否解决完了呢？同学们这里要特别留意，因为题目涉及到三角形的边长，所以要检验是否满足两边之和大于第三边的三边关系。为此我们把$k = 5$带回原方程，解得$x_1 = 5$，$x_2 = 6$，所以等腰三角形三边长是$5$、$5$、$6$，两条最短边$5 + 5$的和大于$6$，满足三边关系。
综上所述，$k$的值为$5$。同学们，你们解对了吗？思考全面了吗？
最后我们进行一个课堂小结。这节课我们学习了一元二次方程根的判别式，明确了根的判别式与方程根情况之间的关系。当$\Delta > 0$时，方程有两个不等的实数根；当$\Delta = 0$时，方程有两个相等的实数根；当$\Delta < 0$时，方程无实数根。特别的，当$\Delta \geq 0$时，方程有两个实数根。以上情况反之亦然。最后，我们还知道了一元二次方程根的判别式的两个作用。第一个作用是判断一元二次方程根的情况，比如例题2；第二个作用是根据一元二次方程根的情况，利用判别式的符号，确定方程中字母系数的取值范围或值，比如例题1。
今天的作业是完成课本第17面，复习巩固第4和第13题。今天的课堂到此结束，谢谢同学们的收看，再见。