师：同学们好，今天我们将一起学习消元解二元一次方程组的第三课时。首先了解这节课的学习目标：一、理解代入法和加减法，它们的核心思想是消元思想，能够根据二元一次方程组中两个方程的特点选择合适的解法；二、能够对比较复杂的二元一次方程组进行变形并求解。学习重点是能够对比较复杂的二元一次方程组进行变形并求解。在前两节课中，我们分别学习了用代入法和加减法解方程组，现在一起来复习一下。请看问题一，请分别用代入法和加减法解下面的方程组：x + 2Y = 3，3X - 2Y = 5。先给同学们一点时间，自主完成这道题目。
生：（自主解题）
师：好，同学们已经完成了，我们一起来看。如果选择用代入法解方程组，第一步要先选择一个系数比较简单的方程进行变形，用一个未知数表示另一个未知数。我们变形方程一得 x = 3 - 2y，记为 3 式。把 3 式代入到 2 式得 3(3 - 2y) - 2y = 5。通过代入，把方程 2 中的 x 消掉，得到关于 y 的一元一次方程。解这个一元一次方程得到 y = 1/2 ，把 y = 1/2 代回到原来的一式，得到 x + 1 = 3，解得 x = 2 。所以这个方程组的解是 x = 2，y = 1/2 。同学们，你们解的答案是不是这个呢？那我们再来一起用加减法解一下方程组。使用加减法解方程组，首先要观察方程中未知数的系数是否存在相等或者相反的关系。在这个方程中，y 的系数分别为 2 和 -2，是一组相反数，所以我们可以直接利用加法，一式加 2 式。注意，一式加 2 式指的是方程的两边同时相加，左边加左边，等于右边加右边，通过相加消掉了未知数 y，得到关于 x 的一元一次方程，解这个方程得到 x = 2 。把 x = 2 代回到原来的一式，得到 2 + 2y = 3，解方程得到 y = 1/2 。所以这个方程组的解仍然是 x = 2，y = 1/2 ，和刚才的解一样。
那我们一起来总结一下代入法和加减法的一些主要步骤。使用代入法，首先会选择一个系数比较简单的方程进行变形，用一个未知数表示出另一个未知数，然后代入消元，通过消元把二元一次方程组转化成一元一次方程，并且得到一个未知数的值。把这个未知数代回到原来的某个方程中，就可以得到另一个未知数的值。最后写出这个方程组的解，并在稿纸上进行检验。代入法的核心思想是消元。加减法的主要步骤，如果方程中未知数的系数不相等或不相反，要通过变形使得同一未知数的系数相等或者相反，然后采用加减消元得到一个一元一次方程，解得一个未知数的值，代回去就可以得到另一个未知数的值。最后写出方程组的解，并在稿纸上进行检验。加减法的核心思想也是消元。我们关注一下，代入法和加减法是通过不同的路径达到消元的目标，通过消元把二元一次方程组变成一元一次方程，然后进行求解。两个方法的核心思想都是消元。用文字表述这两个方法的具体不同：代入消元法和加减消元法是二元一次方程组的两种解法，它们都是通过消元使二元一次方程组转化为一元一次方程，进而求得一个未知数的值，只是消元的方法不同而已，我们应该根据方程组中方程的具体情况选择适合它的解法。有了这样的分析，我们一起来看问题二，选择你认为简便的方法解下列二元一次方程组，给大家几分钟的时间独立完成这两道题目。
生：（独立解题）
师：好了，同学们已经做完了，我们一起来看。对于第一个方程组，因为两个方程中有一个方程已经写成了用一个未知数 x 表示另外一个未知数 y，所以对于这个方程组，我们优先选择用代入法解方程组，把一带入 2，得到 7X + 5(x + 3) = 9，解这个方程就可以得到 x = - 1/2 ，把 x = - 1/2 代回到原来的一式，就可以得到 y = 5/2 。所以这个方程组的解是 x = - 1/2，y = 5/2 ，解完之后可以在稿纸上分别代入一式和二式进行检验，同学们，你们算对了吗？那我们再来看一下第二个方程组。第二个方程组中我们观察到方程一中 t 的系数是 -1，方程 2 中 t 的系数是正 2，除了符号不同之外，1 和 2 是倍数关系。所以我们这里可以选择将一式进行变形，一式乘以 2，注意，一式乘以 2 是要等式两边同时乘以 2 得到方程 3。这时候方程 3 和方程 2 中 t 的系数互为相反数，所以我们可以直接利用两式相加得到 11S = 22，所以 s = 2 。把 s = 2 代回到原来的一式，我们就可以得到 6 - t = 5，所以 t = 1 。最后这个方程组的解是 s = 2，t = 1 。同学们做完后仍然不要忘记在稿纸上进行检验。
好，这是两道练习题，大家都做对了吗？那么我们接着来看问题三，解方程组 3(x - 1) = y + 5，5(y - 1) = 3(x + 5) 。大家来观察一下这个方程组和我们前两节课解的方程组有什么不一样？对了，这里多了括号，而且每个方程的两边都有未知数，也有常数项。对于有括号的这种，我们首先要先去括号移项进行整理，所以要先选择在稿纸上进行一个整理的过程。对于方程一，先去括号得到 3x - 3 = y + 5 。整理到这一步还不够，还要继续整理，把未知数放到等号左边，常数项放到等号右边，所以移项得到 3X - y = 8，这是由方程一得到的。对于方程二，同样去括号 5Y - 5 = 3x + 15 。移项的时候要注意，一般会把含有 x 的项放在第一项，含有 y 的项放在第二项，所以 3X 挪到等号左边要放在前边， -3x + 5Y = 20 。我们优先要在稿纸上对两个方程进行变形整理，得到一个标准形式，然后再回到答题纸上进行计算。解，先去括号移项得到 3X - y = 8， -3x + 5Y = 20 ，分别记为三式和四式。对于方程组三式和四式，应该选择什么样的消元方法呢？很明显这里 x 的系数是一组相反数，所以我们优先选择加减法，直接利用 3 式加 4 式消去未知数 x 得到 4y = 28，那么就可以轻松得到 y = 7 ，把 y = 7 代回到 3 式中，可以算得 x = 5 ，所以这个方程组的解是 x = 5，y = 7 。这道题目告诉我们，如果方程组中两个方程不是标准形式，要先在稿纸上进行整理，然后再回到答题纸上进行计算。老师再给大家出一道问题，请看问题 4。这个问题又和我们平时见到的有什么不一样呢？先给大家几分钟的时间，自己思考一下，尝试一下。