师：同学们，大家好。今天我们一起来学习初中数学总复习第 20 讲：锐角三角函数与解直角三角形。首先明确本节课的目标要求：一、理解锐角三角函数的定义，会推导并熟记特殊角的三角函数；二、理解直角三角形的含义，会解直角三角形；三、能运用锐角三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题。接下来，我们对知识点进行梳理。
先看知识点一：锐角三角函数的定义。如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，a、b、c 分别是∠A、∠B、∠C 的对边。
- ∠A 的正弦 sinA = ∠A 的对边 / 斜边 = a / c。
- ∠A 的余弦 cosA = ∠A 的邻边 / 斜边 = b / c。
- ∠A 的正切 tanA = ∠A 的对边 / ∠A 的邻边 = a / b。
我们将∠A 的正弦、余弦和正切叫做∠A 的锐角三角函数。
关于这个定义，同学们要注意：第一，正弦、余弦、正切都是在直角三角形中定义的，是两条线段的比值；第二，锐角度数确定时，三角函数值就唯一确定。
来看例一：在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，sinA = 3 / 5，则 tanB 等于多少？
要求三角函数值，需放在直角三角形中。第一步画出直角三角形，由于未给出三角形边长，且三角函数可转化为线段比，sinA = 3 : 5 = 3x : 5x，对应图形中是 BC / AB。所以设 BC 为 3x，则 AB 为 5x。再用勾股定理表示出 AC 的长为 4x。最后根据正切定义计算出 tanB = AC / BC = 4x / 3x = 4 / 3。此题答案是 4 / 3。
同学们，对于这类题小结一下：如果在直角三角形中，已知一个角的某一个三角函数，求同角或余角的其它三角函数时，常用方法是数形结合，巧设未知数来表示三角形的边长。
再看例二：在 Rt△ABC 中，AB = 5，BC = 4，求 sinA 等于多少？
同样是求三角函数问题，先画直角三角形。同学们很容易画出 AB = 5 为斜边，BC = 4 为直角边的图形，用勾股定理算得 AC = 3，此时 sinA = 4 / 5。但题目未明确∠C = 90°，所以这只是一种情况。
当∠B = 90°时，画出图形，AB = 5，BC = 4 为直角边，用勾股定理算出 AC = √41，此时 sinA = 4 / √41，化简为 4√41 / 41。
有同学可能会想∠A = 90°，但此时 BC = 4 为斜边，AB = 5 为直角边，不符合题意。因此本题答案有两个：4 / 5 或 4√41 / 41。
同学们总结一下，解题时遇到边角、点形等位置不明确的情况，要审清题意，画出图形，分类讨论。
接着看知识点二：特殊角的三角函数。相信大家都已记住 30°、45°、60°的三角函数值，也可以通过联想特殊直角三角形，用定义推导记忆。
比如 30°，放在直角三角形中，设最短直角边为 1，则斜边为 2，用勾股定理算出第三边为√3。sin30° = 1 / 2，cos30° = √3 / 2，tan30° = 1 / √3 = √3 / 3。
45°放在等腰直角三角形中，直角边都为 1，则斜边为√2。sin45° = cos45° = √2 / 2，tan45° = 1。
60°回到含 30°角的直角三角形，找到 60°的锐角，用定义也可推导出三角函数值。
有了特殊角的三角函数值，看下面题目。
例三：求值 sin245° + tan60° × cos30°。
只需将特殊角的三角函数值代入求值，原式 = (√2 / 2)2 + √3 × √3 / 2 = 1 / 2 + 3 / 2 = 2。
第二题：在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，BC = √7，AC = √21，求∠A 的度数。
在直角三角形中有两条边求角的度数，考虑三角函数。先画出图形标上已知，发现已知边恰好是∠A 的对边和邻边，先算出∠A 的正切值。tanA = BC / AC = √7 / √21 = √3 / 3。又知 tan30° = √3 / 3，所以∠A = 30°。
通过这两个题目要明白：第一，特殊角的三角函数多用于计算题中，要熟记；第二，特殊角的三角函数可用于求角的度数。
继续知识点三：解直角三角形。在直角三角形中，除直角外有五个元素，即三条边和两个锐角，由已知元素求出所有未知元素的过程叫解直角三角形。
解直角三角形常用关系有：
- 三边之间的关系：a2 + b2 = c2（勾股定理）。
- 两锐角之间的关系：∠A + ∠B = 90°。
- 边角之间的关系：sinA = a / c，cosA = b / c，tanA = a / b（锐角三角函数）。
利用这些关系，知道其中两个元素（至少有一个是边），就可求出其余三个未知元素。
回到例 3 的第二题，已知两边求出∠A = 30°，实际上还可得出∠B = 60°，AB = 2BC = 2√7，这就是知 2 推三，即解直角三角形。
来看例 4：如图，在 Rt△ABC 中，∠BAC = 90°，AD⊥BC，已知 AD = 4，cosB = 4 / 5，求 AC 的长。
已知条件中 AD 和 AC 在 Rt△ACD 中，若知道该直角三角形中两个锐角的三角函数，问题就易解决，但已知的是∠B 的余弦值。再看图形，这是双垂直模型，能发现等角，与∠B 相等的角是∠CAD，因为这两个角和∠C 都互余。有了等角，可把等角转化为等三角函数值，∠B = ∠DAC，可推出 cos∠DAC = cosB = 4 / 5。再根据余弦定义求 AC 的长。因为 cos∠DAC = AD / AC = 4 / AC = 4 / 5，所以 AC = 5。这一题巧妙地将未知锐角转化为已知锐角求解，体现了数学上的转化思想。
再看例 5：如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，D 为 BC 上一点，AB = 5，BD = 1，tanB = 3 / 4。第一步求 AD 的长，第二步求 sinα的值。
先分析第一步求 AD 的长。AD 在 Rt△ACD 中，此三角形无任何边和角的条件，所以先从 Rt△ABC 入手。已知 tanB = 3 / 4，将三角函数转化为线段比，设 AC = 3x，BC = 4x。根据勾股定理列方程求解得出 AC 和 BC 的长，进而求得 CD 的长，最后用勾股定理求出 AD。