师：同学们，今天我们来学习一次函数习题专题课——一次函数与全等三角形。首先进入复习旧知学习环节。看这样一道问题：作出函数(y = 3x + 2)的图像，并回答下面的问题。
(x)为何值时，(3x + 2 = 0)，也就是(y = 3x + 2)中的函数值(y = 0)。从图像看，(y = 0)就是直线与(x)轴的交点，通过计算可得(x = - \frac{2}{3})。
(x)为何值时，(3x + 2 > 2)，即(y = 3x + 2)中的函数值(y > 2)，也就是直线中位于(y = 2)上方的部分。从图中可以看出，这部分对应的(x)值为(x > 0)。
(x)为何值时，(3x + 2 < -1)？与第二问类似，(3x + 2 < -1)，即(y = 3x + 2)中的(y < -1)，也就是直线中位于(y = -1)下方的部分。当(y = -1)时，计算可得(x = -1)。由图可知，(y < -1)的部分对应的(x)值为(x < -1)。
接下来看，图中(OA)线段的长度是多少呢？图中的点(O)、点(A)是(x)轴上的两点，(A)在(O)的左边，所以(AO)的长度即为(O)的横坐标减去(A)的横坐标，所以(OA)的长度为(\frac{2}{3})。同理，可得出线段(OB)的长度为(2)。那线段(AB)的长度怎么求呢？对，根据勾股定理可求得(AB)的长度为(\frac{2}{3}\sqrt{10})。
由此可以看出一次函数与一元一次方程之间存在着以下关系：要求一元一次方程(ax + b = 0)的解，从函数值看，就是当一次函数(y = ax + b)的函数值(y = 0)时，(x)的取值；从函数图像上看，即是一次函数(y = ax + b)这一条直线与(x)轴交点的横坐标。同样，一次函数与一元一次不等式之间也存在着以下关系：求一元一次不等式(ax + b > c)或(ax + b < c)的解集，从函数值看，就是当一次函数(y = ax + b)的函数值(y > c)或(y < c)时，(x)的取值范围；从函数图像上看，就是确定直线(y = ax + b)在(y = c)上方或下方部分所对应的(x)的取值范围。大家通过刚才的复习旧知学习环节，感受一下数形结合的数学思想。我们还可以利用一次函数上的点求线段的长度，直线(y = ax + b)上面的点，我们可以根据解析式求出相应点的坐标，例如(A)点的坐标为((x_1, y_1))，(B)点的坐标为((x_2, y_2))。我们可以根据勾股定理得出线段(AB)的长度。
接下来进入探究新知的学习环节，看这样一道例题：如图一，已知直线(y = 2x + 2)与(y)轴、(x)轴分别交于(A)、(B)两点，以(B)为直角顶点在第二象限作等腰直角三角形(ABC)。
求点(C)的坐标，并求出直线(AC)的解析式。分析题目，要求点(C)的坐标，一般要向坐标轴作垂线，作(CH)垂直于(x)轴于点(H)。要求出点(C)的坐标，只需求出(CH)和(OH)的长度即可。由条件可知(AB = BC)，(\angle ABC = 90^{\circ})。根据等角的余角相等可得(\angle ABO = \angle BCH)，结合(\angle CHB = \angle BOA = 90^{\circ})和(BC = BA)，可以证得(\triangle CHB \cong \triangle BOA)。再根据全等三角形的对应边相等得出(CH = OB)，(BH = OA)。结合(y = 2x + 2)与(y)轴、(x)轴分别交于(A)、(B)两点，可得出(A)点的坐标为((0, 2))，(B)点的坐标为(( - 1, 0))。由此可得(CH = OB = 1)，(BH = OA = 2)，(HO)的长度等于(BH + OB = 3)，从而求得(C)点的坐标为(( - 3, 1))，进而求得直线(AC)的解析式。具体解答过程可参考如下。
如图2，直线(CB)交(y)轴于点(E)，在直线(CB)上取一点(D)，连接(AD)，若(AD = AC)，求证(BE = DE)。从条件入手分析，(AD = AC)，且(\angle ABC = 90^{\circ})，根据等腰三角形的三线合一可得(CB = BD)。从结论出发，要证(BE = DE)，常用方法有：一是直接求出线段(BE)和(DE)的长度证明相等；二是把(BE)和(DE)放入两个三角形，证明它们所在的两个三角形全等。
由(B)、(C)两点坐标可求直线的解析式，根据解析式可求得点(E)的坐标为((0, - \frac{1}{2}))。由勾股定理可求得(BE)的长度，但要求出(DE)的长度，就需要求出点(D)的坐标。同样，如果构造全等三角形，也需要知道点(D)的坐标，因此(D)点的坐标是此题的关键。
再回到条件，(CB = BD)，怎样求得点(D)的坐标呢？求坐标最常用的就是向坐标轴做垂线，尝试一下。过点(D)向(x)轴做垂线，交于点(F)，已知(C)点的坐标为(( - 3, 1))，过(C)也向(x)轴作垂线，交于点(H)，结合(CB = BD)，可证得(\triangle BCH \cong \triangle BDF)。根据全等三角形的对应边相等和(B)点的坐标(( - 1, 0))，(C)点的坐标(( - 3, 1))，可以得出(D)点的坐标为((1, - 1))。当然，基础较好的学生也可以直接利用中点坐标公式得出点(D)的坐标。得到点(D)的坐标后，就可以根据勾股定理求出(DE)的长度完成证明。也可以根据点(D)和(B)点的坐标特点构造全等三角形完成证明，过(D)作(DG)垂直于(y)轴，证明(\triangle BOE \cong \triangle DGE)，从而得出(BE = DE)。具体解答过程可参考如下。
学习完例题，归纳一下一次函数与全等三角形之间的关系。如果已知一次函数的解析式，就可以利用解析式得出关键点的坐标，进而得出相应的线段长度。得出线段长度之后，可利用线段长证明三角形全等或者构造全等三角形再证明其全等。
再来看一道变式练习：平面直角坐标系内有两点(A(4, 0))和(B(0, 4))，点(P)在直线(AB)上运动。
若点(P)的横坐标为(-2)，求以直线(OP)为图像的函数解析式。由(A)、(B)点的坐标可求出直线(AB)的解析式为(y = - x + 4)。(P)在直线(AB)上，且横坐标为(-2)，将(x = - 2)代入，可求得(P)点的坐标为(( - 2, 6))，进而求得直线(OP)的解析式为(y = - 3x)。
若点(P)在第四象限，作(BM)垂直于直线(OP)于点(M)，(AN)垂直于直线(OP)于点(N)，探究线段(MN)、(AN)与(BM)之间所满足的数量关系。本题没有图，依题意画图。由条件(A)点的坐标为((4, 0))，(B)点的坐标为((0, 4))，可得(OA = OB)，再结合(BM \perp MN)，(AN \perp MN)，可得(\angle BMO = \angle ANO = 90^{\circ})。和例题类似，根据等角的余角相等，可以得出(\angle MBO = \angle NOA)，可证得(\triangle MOB \cong \triangle NAO)。根据全等三角形对应边相等的性质，可得(MB = NO)，(OM = AN)。又因为(MN = MO + ON)，根据等量代换可以得出结论(MN = BM + AN)。本题也可尝试从结论入手进行分析，通过观察图形，猜想结论，验证结论，完成三者之间的数量关系探究。学有余力的学生可以自己尝试一下。针对这一类问题，进行解题方法的归纳：如果遇到图形缺失的问题，首先要依据题意画出图形，然后对图形进行分析，抓住图形当中的关键点求出相应的线段长度。对于结论开放的问题，可以通过观察度量，先大胆地猜测结论，再仔细分析图形，结合之前求出的线段长，通过证明或构造全等三角形小心验证求得的结论。
接下来进入小试牛刀的学习环节。
基础练习第一题，如图是一次函数(y = kx + b)的图像，若(y > 0)，则(x)的取值范围是什么？先把直线上(y > 0)的部分找出来，再看这部分对应的(x)的取值范围。由图可知，这部分为(x > - 3)，所以本题选(C)。
第二题，如图，已知函数(y = ax + b)和(y = kx)的图像交于点(P)，则根据图像可得关于(x)，(y)的二元一次方程组(\begin{cases}y = ax + b \ y = kx\end{cases})的解是什么？由图像可知，(y = ax + b)和(y = kx)的图像交于点(P)，即(P)点的坐标同时满足(y = ax + b)和(y = kx)两个方程，所以方程组的解即为(P)点的坐标值，方程组的解为(\begin{cases}x = - 4 \ y = - 2\end{cases})。
大家通过这两题可以再次感受数形结合的数学思想。下面进入巩固新知学习环节。如图，一次函数(y = - x + 4)的图像与(y)轴交于点(A)，与(x)轴交于点(B)，过(A)、(B)中点(D)的直线(CD)交(x)轴于点(C)且经过第一象限的点(E(6, 4))。
求(A)、(B)两点的坐标及直线(CD)的函数表达式。(A)、(B)两点的坐标比较容易求，分别为((0, 4))和((4, 0))。因为(D)是(A)、(B)的中点，根据中点坐标公式可求得(D)的坐标为((2, 2))，再结合题目给出的(E)点的坐标为((6, 4))，就可以求得直线(CD)的函数表达式。具体解答过程如下。
连接(DO)，在坐标平面内找一点(F)，使得以(C)、(O)、(F)为顶点的三角形与(\triangle COD)全等，不包括这两个三角形重合的情况，请直接写出点(F)的坐标。这里的全等没有涉及到点与点对应，所以可能出现多种情况。(\triangle COD)和以点(C)、(O)、(F)为顶点的三角形有公共边(CO)。所以找全等三角形时，可根据全等三角形的判定定理逆向思维。先将(\triangle COD)沿着(x)轴翻折，得到(\triangle COF)。此时这两个三角形全等，(F)与(D)关于(x)轴对称，此时(F)点的坐标为((2, - 2))。这个翻折的过程实际上是保证了对应边和对应角都相等，(C)、(O)、(F)三点分别对应(C)、(O)、(D)三点。还有其他情况吗？大家可以多画草图尝试，会发现两个三角形有公共边(CO)，所以(\triangle COF)当中的(C)能对应(\triangle COD)当中的点(C)或点(O)。第一种情况，点(C)对应点(C)，那能否点(C)对应点(O)呢？只需保证(\angle OCF = \angle COD)，同时(CF = OD)即可。根据(SAS)判定两个三角形全等，因此可出现第二种情况，如图所示，此时点(F)的坐标为(( - 4, 2))。同理，可以找到第三种情况，如图所示，此时(F)的坐标为(( - 4, - 2))。
在这一类问题的学习过程中，大家可以感受到分类讨论的数学思想和逆向推理的运用。学到这里，老师留下一道拓展探究题供大家课后思考。问题如下，请大家尝试一题多解，把想法与同学讨论，相信会有所收获，老师也提供一种解法供参考。
可以利用(45^{\circ})构造等腰直角三角形，再利用等腰直角三角形的特征构造全等三角形，得出关键点的坐标。如图，过点(A)作(AE)垂直于(AC)交(BC)于点(E)，再过(E)作(EF)垂直于(AB)交于点(F)，可证明(\triangle OAC \cong \triangle FEA)，进而得出点(E)的坐标为((4, 1))，再结合(C)点的坐标((0, 3))，可求得直线(CE)的解析式为(y = - \frac{1}{2}x + 3)，进而求得点(B)的坐标为((6, 0))。
最后归纳一下这节课的学习主线。一次函数与全等三角形看似不相关，实际上存在着密切的联系。如果已知一次函数的解析式，就可以利用它进行计算，得出关键点的坐标，进而求得相应线段的长度，利用线段长度证明三角形全等或构造全等三角形证明其全等。反之，也可以利用全等三角形的性质求出相关点的坐标，进而求出一次函数的解析式。这就是数学学习里转化的数学思想。本节课到此结束，谢谢大家！