师：同学们好，今天我们一起来学习人教版八年级下册第十八章平行四边形小专题复习五。首先来看今天的学习目标：一、能运用正方形和全等三角形的性质与判定方法进行证明；二、会在运动变化中发现不变的位置关系和数量关系。
在直角三角形ABE中，∠A = 90° 。从边考虑，两条直角边的平方和等于斜边的平方，即已知两边可通过勾股定理求第三边；从角考虑，∠B + ∠1 = 90°，也就是直角三角形的两个锐角互余。过直角顶点A作斜边的高AO，图中一共有三个直角三角形，它们的锐角存在关系：∠B + ∠1 = 90°，∠1 + ∠α = 90°，所以∠B = ∠α ，这是同角的余角相等。它们的边也存在一定关系，以后会进一步研究。
延长AE到点D，使AD = AB ，过点D作AD的垂线交AO的延长线于点F。三角形ABE与三角形DAF全等吗？因为∠BAE = ∠D = 90°，AB = AD，∠B = ∠α ，根据角边角，可证明△ABE ≌ △DAF。
过点B作AB的垂线，交DF的延长线于点C。四边形ABCD是什么形状？是正方形。为什么呢？因为∠ABC = ∠BAD = ∠D = 90°，有三个直角的四边形是矩形，所以四边形ABCD是矩形。又因为AB = AD，所以矩形ABCD是正方形。
线段BE与AF有什么关系呢？这里指数量关系与位置关系。因为△ABE ≌ △DAF，所以它们的对应边BE与AF相等。又因为AF是延长直角三角形ABE斜边上的高而来，所以BE与AF也垂直，即BE与AF相等且互相垂直。
当点E、F分别在线段AD和DC上运动的时候，线段BE与AF有什么关系呢？找特殊情况，当点E运动到点D时，点F与点C重合，此时线段BE与AF相等吗？答案是肯定的，因为此时BE与AF正好是正方形ABCD的对角线，正方形的对角线相等且互相垂直。那么当点E、F分别在线段AD与DC上运动时，BE与AF还相等吗？请看例题。
这是课本第68页第8题。如图，ABCD是一个正方形花园，E、F是它的两个门，且DE = CF，要修建两条路BE和AF，这两条路等长吗？它们有什么位置关系？为什么？这个问题其实是问BE与AF是否相等，以及BE与AF有什么位置关系。我们先猜想BE = AF，BE ⊥ AF。
要证明线段相等，我们可以找平行四边形或者全等三角形。因为BE和AF是相交的两条线段，所以考虑找全等三角形。BE是△ABE的一条边，AF是△DAF的一条边，所以考虑证明△ABE与△DAF全等。
再看题目条件，ABCD是正方形花园，正方形有什么性质呢？边相等，如AB = AD；角相等，如∠BAE = ∠D = 90°。这样就得到一组边和一组角相等。题目还有条件DE = CF，有什么作用呢？因为AD = DC，DE = CF ，AD - DE = CD - CF，即AE = DF。这样根据边角边就可以证明△ABE ≌ △DAF，从而对应边BE = AF。
接着怎么证明BE ⊥ AF呢？如果BE ⊥ AF，那么∠AOB = 90°，所以∠2 + ∠3 = 90°。又因为∠BAE是直角，即∠1 + ∠2 = 90°，所以需要证明∠1 = ∠3。怎么证明呢？∠1和∠3正好是刚才证明全等的那对三角形的一组对应角，这样BE ⊥ AF就可以证出来了。
下面看这道题的详细证明过程。两条路等长且互相垂直，因为四边形ABCD是正方形，所以AB = CD = DA，∠BAD = ∠D = 90°，这一步运用了正方形的性质，所以∠1 + ∠2 = 90°。因为DE = CF，所以AD - DE = CD - CF，所以AE = DF，这一步运用了等式的性质。
在△ABE与△DAF中，因为AB = DA，∠BAE = ∠D，AE = DF，所以△ABE ≌ △DAF，这一步运用了全等三角形的判定方法。所以BE = AF，∠1 = ∠3，这一步运用了全等三角形的性质，所以∠3 + ∠2 = 90°，所以∠AOB = 90°，所以BE ⊥ AF，这一步运用了等式性质与垂直的定义。
这道题已知正方形和正方形上一组邻边的一部分DE = CF，就证出了BE与AF这两条线段相等且互相垂直。如果互换条件，正方形条件不变，把DE = CF换成BE ⊥ AF，那么可以证出BE = AF以及DE = CF吗？请看示例一。