师：同学们，大家好！今天我们要学习导数的几何意义。首先，我们来复习一下前两节课所学的内容。
第一，平均变化率。什么是平均变化率呢？在曲线(C)上取一点(P(x_0, y_0))及附近一点(Q(x_0 + \Delta x, y_0 + \Delta y))，函数(y = f(x))从(x_0)到(x_0 + \Delta x)的平均变化率为(\frac{\Delta y}{\Delta x})。其中，(\Delta y)是函数值的改变量，(\Delta x)是自变量的改变量。从图像上看，(\frac{\Delta y}{\Delta x})就是角(\beta)的正切值，也是直线(PQ)的斜率。所以，平均变化率的几何意义就是(P)、(Q)两点所连割线的斜率，即(k_{PQ} = \tan\beta = \frac{\Delta y}{\Delta x})。在这里，平均变化率的数值与它的几何意义体现了数与形的完美结合。
第二，导数的定义。函数(y = f(x))在(x = x_0)处的瞬时变化率，就称为函数(y = f(x))在(x = x_0)处的导数，记作(f^\prime(x_0))或者(y^\prime|_{x = x_0})。即(f^\prime(x_0))就是平均变化率(\frac{\Delta y}{\Delta x})当(\Delta x)趋于(0)时的极限值。平均变化率的几何意义表示曲线上两点连线（即曲线割线）的斜率，函数(y = f(x))在(x = x_0)处的导数（即瞬时变化率）反映了函数在(x = x_0)附近的变化情况，那么它的几何意义是什么呢？带着这个疑问，我们进入今天的课题。
我们知道，平均变化率(\frac{\Delta y}{\Delta x})当(\Delta x)趋于(0)时，会趋于一个确定的值，这个值就是导数。从图像上看，在函数(y = f(x))图像上一点(P)及其附近一点(Q)，当(\Delta x)趋向于(0)的时候，点(Q)是不是在不断地逼近点(P)呢？当(Q)点不断逼近(P)点时，我们的割线又在做怎样的变化呢？接下来我给大家演示一段动画，大家仔细观察割线是如何变化的。
当(\Delta x)趋向于(0)的时候，割线在绕着(P)点进行旋转。我们再看一遍，割线(PQ)在绕着(P)点旋转，它是不是在逐渐逼近一个确定的位置呢？也就是图中红线展示的位置。在数学中，我们通过逼近的方法，将割线趋于的确定位置的直线定义为切线。
提到切线，我们并不陌生，在初中平面几何中就接触过。在初中，直线和圆有唯一公共点时，叫做直线与圆相切，此时直线是圆的切线，这个唯一的公共点(P)就叫做切点。但是这种定义并不适用于一般曲线的切线。当直线和一个曲线只有一个公共点时，直线不一定就是这个曲线的切线。比如，开口向右的抛物线与(x)轴平行的直线，它们只有一个交点，但这条直线不能叫做这个曲线的切线。所以，直线与曲线只有一个交点，不能作为直线与曲线相切的判断方法。而通过刚才的动画演示，用逼近的方法将割线趋于的确定位置的直线定义为切线，适用于各种曲线，这种定义才真正反映了切线的直观本质。
好，我们再回到刚才的问题，当平均变化率(\Delta x)趋于(0)时，趋向于一个定值（导数值）。在图像上，当(Q)点逐渐逼近(P)点时，割线(PQ)是不是趋于点(P)处的切线呢？这就是用逼近的思想得到的启示。所以，当(\Delta x)趋向于(0)的时候，割线就变成了切线。由于平均变化率的值和意义是割线的斜率，所以导数的几何意义就是切线的斜率。
我们来看导数几何意义的定义：函数(y = f(x))在(x_0)处导数的几何意义，就是曲线(y = f(x))在点((x_0, f(x_0)))处切线的斜率。曲线(y = f(x))在点(P(x_0, f(x_0)))处切线的斜率就是函数在(x = x_0)处的导数。有了切线的斜率，又有了切点，我们就可以用直线方程的点斜式来表示函数在某一点处的切线方程。所以，曲线(y = f(x))在点(P(x_0, f(x_0)))处的切线方程为(y - f(x_0) = f^\prime(x_0)(x - x_0))。
好，我们得到了导数的几何意义以及切线方程的表示方法。下面通过一个例子来巩固一下。已知函数(y = f(x) = x^2)，(x_0 = -2)。分别对(\Delta x = 2)、(1)、(0.5)，求(y = x^2)在区间([x_0, x_0 + \Delta x])的平均变化率，并画出过点((x_0, f(x_0)))的相应割线。我们首先要求出平均变化率，然后画出相应割线。
当(\Delta x = 2)时，(x_0)到(x_0 + \Delta x)的区间就是([-2, 0])。此时的平均变化率为(\frac{f(0) - f(-2)}{0 - (-2)} = \frac{0^2 - (-2)^2}{0 - (-2)} = -2)。
当(\Delta x = 1)时，区间是([-2, -1])，平均变化率为(\frac{f(-1) - f(-2)}{-1 - (-2)} = \frac{(-1)^2 - (-2)^2}{-1 - (-2)} = -3)。
当(\Delta x = 0.5)时，区间是([-2, -1.5])，平均变化率为(\frac{f(-1.5) - f(-2)}{-1.5 - (-2)} = \frac{(-1.5)^2 - (-2)^2}{-1.5 - (-2)} = -3.5)。
我们得到了三个平均变化率，分别是(-2)、(-3)、(-3.5)。相应的割线，第一条直线(L_1)经过点((-2, 4))（因为(x_0 = -2)，(f(-2) = 4)）和点((0, 0))；第二条直线(L_2)经过点((-2, 4))和((-1, 1))；第三条直线(L_3)经过点((-2, 4))和((-1.5, 2.25))。这三条直线都经过点((-2, 4))。
接下来，求函数(y = x^2)在(x_0 = -2)处的导数，并画出曲线(y = x^2)在点((-2, 4))处的切线。同学们先回忆一下上节课所学求导数的步骤：
求函数的增量；
求出平均变化率；
求极限（即(\Delta x)趋近于(0)时的平均变化率）。
按照这三个步骤来求。因为(x_0 = -2)，先算平均变化率(\frac{f(-2 + \Delta x) - f(-2)}{\Delta x})，代入函数解析式展开化简：
[
\begin{align*}
&\frac{(-2 + \Delta x)^2 - (-2)^2}{\Delta x}\
=&\frac{4 - 4\Delta x + (\Delta x)^2 - 4}{\Delta x}\
=&\frac{-4\Delta x + (\Delta x)^2}{\Delta x}\
=& -4 + \Delta x