师：同学们大家好，今天这节课我们一起来学习初中数学，上海科学技术出版社九年级下册第24章圆24.4节直线与圆的位置关系第一课时。前面我们已经学过点和圆的位置关系，共有几种？
生：共有三种，分别是点在圆内、点在圆上、点在圆外。
师：设点到圆心的距离为d，圆的半径为r，则d小于r，等价于什么？
生：d小于r等价于点在圆内。
师：d等于r呢？
生：d等于r等价于点在圆上。
师：d大于r呢？
生：d大于r等价于点在圆外。
师：也就是说，点和圆的位置关系是由点到圆心的距离和圆的半径两个数值的大小关系来确定。与上述结论进行类比，直线与圆的位置关系由哪几个数据来确定呢？接下来我们一起来探究它们之间的具体关系。请同学们仔细观看海上日出的动画。如果我们把海平线看成一条直线，太阳看成一个圆，那么在刚才的动画中，直线与圆的公共点个数会有哪几种情况呢？请同学们在纸上画一画。
生：共有三种情况，分别是直线和圆有两个公共点、直线与圆只有一个公共点、直线与圆没有公共点。
师：接下来我们来看看具体的相关概念。如图，当直线与圆有两个公共点时，这时直线与圆相交，这条直线叫做割线。此时公共点E、F既在直线上，又在圆上，点E、F之间的点在圆内，E的左侧和F的右侧的点都在圆外。如图2，直线与圆只有一个公共点时，这时直线与圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫做切点。此时公共点A既在直线上，又在圆上，直线上除点A外的其他点都在圆外。如图3，直线与圆没有公共点，这时这条直线与圆相离，此时直线上所有的点都在圆外。根据以上的概念，请同学们总结一下直线与圆的位置关系一共有哪几种情况？
生：直线与圆的位置关系共有相交、相切、相离三种情况。
师：为了方便同学们进行对比，老师将这三种关系制成了表格，从表格中我们可以得出哪些信息呢？
生：从表格中可以看出直线与圆相交时有两个公共点，直线与圆相切时有一个公共点，直线与圆相离时没有公共点。
师：还能得到哪些信息呢？
生：反过来知道公共点的个数也可以判定出直线与圆的位置关系。比如说有两个公共点可以得到直线与圆相交，有一个公共点可以得到直线与圆相切，没有公共点可以得到直线与圆相离。
师：总结一下，由位置关系可以得到公共点的个数，反过来由公共点的个数也可以得到相应的位置关系。前面我们已经复习了点和圆的位置关系，主要是由点到圆心的距离和圆的半径两个数值的大小关系来确定。那么我们是否可以由此猜想直线与圆的位置关系是否由圆心到直线的距离和半径的大小关系来判定呢？我们知道点到直线的距离指的是垂线段的长度。如图，直线外一点A到直线l的距离是垂线段OA的长度，并且点A与直线l上所有点的连线段中垂线段最短。复习了这个知识点之后，接下来我们先来研究第一种情况，直线和圆相交。如图，直线l和圆O相交。设圆心O到直线l的距离为d，圆的半径为r。那么接下来如何推导出d与r的大小关系呢？首先我们作出O到直线l的垂线段，过点O作OA垂直于l于点A。那么OA的长度就是表示圆心到直线的距离。因为A在圆的内部，根据点与圆的位置关系，则OA小于r，所以d小于r。所以直线l和圆O相交得到d小于r。同学们想一想，反之结论成立吗？
生：成立。
师：当d小于r时，根据垂线段最短和点与圆的位置关系，我们可以得到直线上距离圆心最近的点在圆内，那么过圆内一点所画的直线l一定和圆O相交，所以d小于r得到直线l和圆O相交。因此直线和圆相交等价于d小于r。同样的，我们也可以得到直线和圆相切等价于d等于r，直线和圆相离等价于d大于r。同学们想一想，后面两种情况又是如何推导的呢？我们先来看看直线和圆相切时如何推导d与r的大小关系。如图，直线l和圆O相切，根据相切的定义，直线与圆只有唯一的公共点A，因为点A在圆上，所以根据点与圆的位置关系得到OA等于r，而直线l上任意一个不是点A的点P都在圆外。因为P都在圆外，所以根据点与圆的位置关系得到OP大于r，所以OA是圆心到直线上距离最短的线段。因为垂线段最短，所以OA就是垂线段，即OA垂直于l。因此OA既表示圆心到直线的距离d又表示圆的半径r。因此d等于r，反过来d等于r时，我们又怎样推导直线与圆相切呢？
生：当d等于r时，根据垂线段最短和点与圆的位置关系，得到直线上距离圆心最近的点在圆上。而直线上其他任意一个点P都有OP大于r，根据点与圆的位置关系的判定得到这些点都在圆外，因此直线l和圆O只有一个公共点。根据定义我们可以得到直线l和圆O相切。