师：同学们好，欢迎大家进入数学课堂。今天我们学习高中数学，北京师范大学出版社高二年级选修2 - 2第四章第三节第二课时——简单几何体的体积。提到简单几何体的体积，同学们并不陌生，我们在高一必修二中已经学习过简单几何体的面积和体积，当时是从几何角度来研究的。上节课我们从代数角度研究了平面图形的面积，这节课我们将继续从代数角度研究简单几何体的体积。在开始新课之前，我们一起来复习上节课所学内容。
平面图形的面积：一般地，设由曲线(y = f(x))、直线(x = a)、(x = b)以及(x)轴所围成的平面图形的面积为(S)，则(S)等于函数(f(x))在区间([a,b])上的定积分。如果是由曲线(y = f(x))，(y = g(x))和直线(x = a)，(x = b)所围成的平面图形，那么面积(S)等于函数(f(x))在区间([a,b])上定积分减去函数(g(x))在区间([a,b])上定积分。下面请同学们看，由曲线(y = \sqrt{x})，(x)轴、(y)轴以及直线(x = 2)所围成的平面图形面积，这个问题我们在上节课已经解决了。那下面如果把它所围成的平面图形绕(x)轴旋转一周所得几何体的体积，我们能不能解决这个问题呢？请同学们思考一下，所得几何体是一个怎样的几何体？
这个几何体我们能利用必修2中几何体的体积公式来求解吗？显然是不能的，我们当时并没有学习到像这样的简单几何体的体积公式，那我们该如何解决这个几何体的体积问题呢？在解决平面图形的面积时，我们利用了定积分思想：分割、近似代替、求和、取极限。那么我们猜想能否将定积分思想类比运用到简单几何体积的求解中。为了解决刚才那个简单几何体的体积问题，我们先来学习例1：给定直角边为1的等腰直角三角形绕一条直角边旋转一周，得到一个圆锥体，求它的体积。
同学们应该已经有了自己的思路，下面我们一起来分析这个问题。如图所示，在平面直角坐标系中，直角边为1的等腰直角三角形可以看成是由直线(y = x)、(x = 1)以及(x)轴所围成的平面图形。下面我们将类比平面图形面积的求法分四步进一步分析这个问题。
第一步，分割：如图，在区间([0,1])内插入(n - 1)个分点，使区间左端点(0 = x_0 \lt x_1 \lt x_2 \lt \cdots \lt x_{n - 1} \lt x_n = 1)（区间右端点），把这个三角形分割成(n)个垂直于(x)轴的小梯形。第(i)个小梯形的宽是(\Delta x_i)，由图很容易知道，(\Delta x_i = x_i - x_{i - 1})，因为有(n)个这样的小梯形，所以(i = 1,2,\cdots,n)。这个小梯形绕(x)轴旋转一周就得到一个厚度是(\Delta x)的小圆台。请同学们想象一下会是一个怎样的小圆台？是不是就像图中这样的小圆台？
第二步，近似代替：当(\Delta x_i)很小时，第(i)个小圆台近似于底面半径为(x_i)的小圆柱。在这里请同学们思考一下，为什么第(i)个小圆台底面半径为(x_i)？请同学们看图，图中红色虚线，它的长度就是第(i)个小圆台底面半径。由题目所给条件很容易知道它的长度就等于(x_i)。因此第(i)个小圆盘体积(V_i)可由圆柱体的体积近似代替，也就是(V_i \approx \pi x_i^2 \cdot \Delta x_i)，其中(\pi x_i^2)是第(i)个小圆台底面面积，(\Delta x_i)是其高。在这里我们用圆柱的体积公式来代替圆台的体积。
第三步，求和：圆锥的体积(V)等于所有小圆台的体积和，也就是(V \approx \pi \cdot (x_1^2 \cdot \Delta x_1 + x_2^2 \cdot \Delta x_2 + \cdots + x_n^2 \cdot \Delta x_n))，(n)个加在一起就是(n)个小圆台的体积和，也就是圆锥的体积。
第四步，取极限：当(\Delta x_i)趋于(0)时，由定积分的定义可知，上面(n)个小圆台体积和这个问题就是定积分问题，其中被积函数为(y = \pi x^2)，积分区间为([0,1])。接下来我们一起来求出这个圆锥体的体积。圆锥体的体积为(V)，等于函数(\pi x^2)在区间([0,1])上的定积分。由牛顿 - 莱布尼茨公式代入，数值计算可得(V = \frac{\pi}{3})。
同学们，刚才我们利用定积分求得了圆锥体的体积，那我们能不能利用已经学习过的圆锥体的体积公式来求解呢？显然是可以的，因为圆锥体的底面半径是(1)，底面积(S = \pi)，圆锥体的高(h = 1)。由圆锥体的体积公式(V = \frac{1}{3}Sh)得，(V = \frac{1}{3}\pi)，和刚刚求的结果是一样的。
同学们，经过例1的学习，我们是不是已经了解了如何利用定积分来求简单几何体的体积问题呢？对于例1这样规则的几何体，既可以利用积分来求，也可以利用简单几何体的体积公式来求。下面我们来看例2：一个半径为1的球可以看成是由曲线(y = \sqrt{1 - x^2})与(x)轴所围成的区域绕(x)轴旋转一周得到的。如图所示，求球的体积。
相信同学们已经有了自己的思路，下面我们类比例1来分析这个问题。
分割：如图，在区间([ - 1,1])内插入(n - 1)个分点，使区间左端点(-1 = x_0 \lt x_1 \lt x_2 \lt \cdots \lt x_{n - 1} \lt x_n = 1)，把半圆分割成(n)个垂直于(x)轴的小长条。设第(i)个小长条的宽是(\Delta x_i)，(\Delta x_i = x_i - x_{i - 1})，(i = 1,2,\cdots,n)。这个小长条绕(x)轴旋转一周，就得到一个厚度是(\Delta x_i)的小圆片，也就是图中这样的小圆片。
近似代替：当(\Delta x_i)很小时，第(i)个小圆片近似于底面半径为(\sqrt{1 - x_i^2})的小圆柱。在这里请同学们思考一下，为什么第(i)个小圆片底面半径为(\sqrt{1 - x_i^2})？请同学们看图中红色的虚线，它的长度就是第(i)个小圆片底面半径。由题目所给条件很容易知道，它就等于(\sqrt{1 - x_i^2})。因此第(i)个小圆片的体积(V_{2i})可由圆柱体的公式近似代替，也就是(V_{2i} \approx \pi \cdot (1 - x_i^2) \cdot \Delta x_i)，其中(\pi \cdot (1 - x_i^2))为第(i)个小圆片底面面积，(\Delta x_i)是其高。
求和：球的体积(V)等于所有小圆片的体积和，也就是(V \approx \pi \cdot [(1 - x_1^2) \cdot \Delta x_1 + (1 - x_2^2) \cdot \Delta x_2 + \cdots + (1 - x_n^2) \cdot \Delta x_n])，(n)个相加就是(n)个小圆片的体积和。