师：各位同学，大家好，欢迎走进今天的数学课堂。我们今天将共同学习第十八章第二节矩形的第二课时——矩形的判定。上一节课，我们认识了矩形，并了解了相关知识。现在，我们对这些内容做个回顾。首先，回顾一下矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形，叫做矩形。矩形有哪些性质呢？我们可以从以下三个方面描述：
边：对边平行且相等；
角：对角相等，邻角互补，四个角都是直角；
对角线：相等且互相平分。其中，四个角都是直角、对角线相等是矩形的特殊性质。这节课，我们将继续探究矩形的判定方法。
同学们，在几何学习过程中，我们经常会运用一些数学方法，常用的探究方法有两种：
一是从一般到特殊。比如，我们在探究一般三角形到等腰三角形，再到等边三角形的过程中，就用到了这种方法。
二是类比。比如，等边三角形是特殊的等腰三角形，它的很多性质和判定都是类比等腰三角形得出的。同样，矩形是特殊的平行四边形，所以我们也可以类比平行四边形，去探究矩形的判定方法。那么，接下来我们必须回顾一下平行四边形的判定定理是如何得出的。同学们请看右边，这是平行四边形四个常用的判定定理，特别注意第一个，它既是判定，又是平行四边形的定义。我们再来看它左边相对应的四个性质定理。通过观察比较，我们发现判定定理是性质定理的逆定理，也就是说，判定定理是性质定理的逆命题，经过理论论证得出的。
所以，类比平行四边形，我们也可以先从矩形的定义入手，得到矩形的第一个判定方法：有一个角是直角的平行四边形是矩形。几何语言表述如下：在平行四边形ABCD中，因为∠B = 90°，所以四边形ABCD是矩形。
那么，除了定义以外，矩形的判定方法还有哪些呢？我们同样可以类比平行四边形，从矩形性质定理的逆命题入手，看看它的逆命题是否成立。同学们，你们还记得矩形有两个特殊性质，其中一个是矩形的四个角均为直角。那么，它的逆命题是什么呢？
生：它的逆命题是四个角是直角的四边形是矩形。
师：这个命题成立吗？如图，∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°，那么∠A + ∠B = 180°，因此AD∥BC。同样，∠B + ∠C = 180°，所以AB∥CD。根据两组对边分别平行，我们就可以得到四边形ABCD为平行四边形，又因为有直角，所以这个平行四边形就是矩形。但是，同学们，你们认真想一想，通过老师刚才的论述，你觉得真的需要4个角为直角吗？如果不需要，那么老师想问，至少有几个角是直角的四边形，才一定是矩形呢？我们观察图片，看看会有怎样的发现。
（展示图一）我们减少掉一个直角，请问有三个角是直角的四边形，是矩形吗？通过观察，我们发现显然是的。那么，有两个角是直角的四边形，从图上看不一定是，有一个角是直角的，也不一定是。所以，通过观察，我们大胆猜想：有三个角是直角的四边形是矩形。同学们，你们能证明这个猜想吗？接下来，我们不妨试一试。
已知在四边形ABCD中，∠A = ∠B = ∠C = 90°。求证：四边形ABCD是矩形。
细心的同学们不难看出，这个命题老师刚才论述过。所以，接下来我们看看它的证明过程。因为∠A = ∠B = 90°，所以∠A + ∠B = 180°，因此AD∥BC。同理，我们可以证明AB∥CD，所以四边形ABCD是平行四边形。又因为∠B = 90°（已知），根据矩形的定义，所以四边形ABCD是矩形。
通过以上论证，我们的猜想是正确的，我们就得到了矩形的第二个判定方法：有三个角是直角的四边形是矩形。几何语言表述如下：因为∠A = ∠B = ∠C = 90°，所以四边形ABCD是矩形。
还有一个特殊性质是关于对角线的，我们知道矩形的两条对角线是相等的数量关系。反之，如果我们猜想对角线相等的四边形就是矩形，同学们，你觉得对吗？
生：我也认为不对，因为矩形是特殊的平行四边形，所以它的对角线不仅相等，而且必须互相平分。
师：如果刚才的猜想不正确，你的猜想又是什么呢？
生：通过老师您和同学的分析，我猜想对角线相等的平行四边形才是矩形。
师：那么你能证明这个猜想吗？接下来，我们不妨证一证。在平行四边形ABCD中，AC、DB是它的两条对角线，AC = DB。求证：平行四边形ABCD是矩形。
我们先对这个题目作分析。已知四边形ABCD已经是平行四边形，所以我们只要再找到有一个角是直角，那么根据定义，我们就可以判断它是矩形了。又因为两直线平行同旁内角互补，当其中一个角为直角时，与它相邻的另一个角一定也是直角，这两个角就是相等的数量关系。那么如何证明两个角相等呢？我们通常选取全等三角形来解决这个问题。所以，通过这样的分析，找寻全等三角形成为这道题的关键所在。
那么老师选择的是△ABC和△DCB，我们来看看这两个三角形如何全等。首先，AB = DC，这是平行四边形的一组对边相等；其次，BC = CB，这是它们的公共边；再次，AC = DB，这是相等的两条对角线。所以，△ABC≌△DCB（判定方法：SSS）。因此，∠ABC = ∠DCB。又因为AB∥CD，∠ABC + ∠DCB = 180°，通过计算，我们求得∠ABC = 90°。
根据矩形的定义，平行四边形ABCD就是矩形。通过以上论证，再次证明我们的猜想是正确的，我们就得到了矩形的第三个判定方法：对角线相等的平行四边形是矩形。几何语言表述如下：在平行四边形ABCD中，对角线AC = BD，所以四边形ABCD是矩形。
同学们，到目前为止，我们学习了矩形的三个判定方法，其中第一个判定来自于定义，第二个判定和第三个判定是由矩形性质定理的逆命题经过猜想论证得出的。同学们，我们不仅要熟知定理的内容，还需要灵活运用这些定理去进行计算与证明。接下来，我们进入下一个板块，巩固今天所学的新知识。请同学们判断下列的判定是否正确。
一、有一个角是直角的四边形是矩形。（请大家看反例，显然错误。）
二、有3个角是直角的四边形是矩形。（这是本节课的判定方法之一，正确。）
三、四个角都相等的四边形是矩形。（四边形的内角和是360度，当它的四个角都相等时，四个角均为直角，所以正确。）
四、对角线相等的四边形是矩形。（请同学们看反例，对角线相等的平行四边形才是矩形，所以第四个判定是错误的。）