师：同学们，大家好。今天我们学习高中数学，人民教育出版社A版高二年级选修2 - 2第二章第二节直接证明与间接证明的第三课时。前面的课程中，我们学习了直接证明的两种方法：综合法和分析法。我们先来复习一下这两种基本方法，它们的推进过程和特点是怎样的呢？
综合法是由条件出发推导出结论，也就是我们所说的“由因导果”；分析法是从结论反推出使结论成立的已知条件，即“执果索因”。那么在实际解题时，这两种方法如何应用呢？通常用分析法寻求思路，再由综合法书写过程。接下来请同学们看思考。
一、将9个球分别染成红色或白色，无论怎样染，至少有5个球是同色的。你能证明这个结论吗？我们现在有9个球，来考虑球的染色情况。它可以是9个球全是白色；可以是1个红色、8个白色；可以是2个红色、7个白色；可以是3个红色、6个白色……依次列举下去，我们可以得到多少种球的染色情况呢？我们可以得到10种球的染色情况。分析这十种情况，我们就可以证明这个结论。
但是这种证明方法情况较多，有没有更为简洁的方法来证明这个结论呢？大家看这样一个分析思路：假设有某种染色方法，使同色的球数不超过4，则球的总数不超过4 + 4 = 8个，这与球的总数是9个矛盾。因此假设不成立，所以无论怎样染，至少有5个球是同色的。我们可以看看这个思路，首先是否定结论，其次推导出矛盾，从而间接证明我们的结论成立。这比刚才用直接法证明要简洁得多。
接下来同学们再来看思考二。若(x,y\in R)，且(x^{2}+y^{2}=0)，则(x,y)全为0吗？
如果从正面思考，因为(x,y\in R)，所以(x^{2}\geq0)，(y^{2}\geq0)。又因为(x^{2}+y^{2}=0)，所以(x = 0)且(y = 0)，即(x,y)全为0。
如果从反面思考，假设(x,y)不全为0，不妨设(x\neq0)，则(x^{2}\gt0)。因为(y^{2}\geq0)，所以(x^{2}+y^{2}\gt0)，与已知的(x^{2}+y^{2}=0)矛盾。所以假设不成立，故(x,y)全为0。
现在请同学们再看看刚才的两个思考，正面思考得到：若(x^{2}+y^{2}=0)，则(x,y)全为0；反面思考得到：若(x,y)不全为0，则(x^{2}+y^{2}\neq0)，即(x^{2}+y^{2}\gt0)。通过前面两个思考可知，一个问题在证明时，既可以直接证明，也可以间接证明。那么在直接证明比较困难的时候，可以考虑这种间接证明的方法。这种间接证明的方法是通过证明该命题的否定为假，从而断言该命题为真，因此形成了命题的否定、正确的推理、构造矛盾三个方面。这种方法的证明模式可以简要地概括为“否定 - 推理 - 否定”，即从否定结论开始，经过正确无误的推理导致逻辑矛盾，达到新的否定，其基本思想就是否定。那么这种方法就是今天我们所要学习的反证法。
接下来我们看看反证法的定义：一般地，假设原命题不成立，即在原命题的条件下，结论不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立。这样的证明方法叫做反证法。同学们要注意，反证法是间接证明的一种基本方法。
接下来我们看反证法的证明步骤。反证法通常按照“否定结论 - 推出矛盾 - 肯定结论”这三个步骤来证明。具体来说，反证法分为“反设、归谬、存真”这3个步骤。第一，反设，假设命题的结论不成立；第二，归谬，从假设出发，经过一系列正确的推理，得出矛盾；第三，存真，由矛盾结果断定反设不成立，从而肯定原结论成立。这就是我们常讲的反证法证明的三部曲。
因为用反证法证明时要否定结论，所以我们应该掌握一些词语的否定。下面给大家列举了一些常见词语的否定形式，请同学们看看。
“等于”的否定词是“不等于”；“都是”的否定词是“不都是”；“大于”的否定词是“不大于（小于或等于）”；“小于”的否定词是“大于或等于”；“对所有(x)成立”的否定是“存在某(x)不成立”；“任意的”否定是“某个”；“至少有一个”的否定是“一个也没有”；“至多有一个”的否定是“至少有两个”；“至少有(n)个”的否定是“至多有(n - 1)个”；“至多有(n)个”的否定是“至少有(n + 1)个”；“对任何(x)不成立”的否定是“存在某(x)成立”。
好，我们学习了反证法的定义，了解了反证法的步骤。接下来我们看看如何用反证法来解决具体问题，请同学们看题。
第一题，证明在(\triangle ABC)中，若(\angle C)是直角，则(\angle B)一定是锐角。对于这道题，用直接证明可行，那么用反证法该如何证明呢？
我们可以这样证明：在(\triangle ABC)中，假设(\angle B)不是锐角，则(\angle B)是直角或钝角。因为(\angle C)是直角，此时(\angle B + \angle C\geq\pi)，这与(\angle B + \angle C\lt\pi)矛盾。所以我们的假设不成立，原命题成立。我们可以看看证明过程，首先第一步否定结论，第二步推导出矛盾，第三步肯定结论，按照反证法三部曲来进行。对于这道题，我们的矛盾是与三角形内角和定理相矛盾，所以本题推导的矛盾是与已知公理相矛盾。
接下来我们看第二题，求证(\sqrt{2})是无理数。证明一个数是无理数，从直接证明的角度比较困难，所以我们可以考虑利用反证法来进行证明。请同学们思考一下本题如果用反证法证明该如何证？
我们还是按照反证法证明的三部曲来进行。首先否定结论，假设(\sqrt{2})不是无理数，那么它就是有理数。也就是说，存在互质的正整数(m,n)使得(\sqrt{2}=\frac{m}{n})，从而有(m = \sqrt{2}n)。因此(m^{2}=2n^{2})，所以(m)为偶数。于是我们设(m = 2k)（(k)是正整数），从而(4k^{2}=2n^{2})，即(n^{2}=2k^{2})，所以(n)也为偶数。这个时候我们发现(m)是偶数，(n)也是偶数，这就与(m,n)互质矛盾。从而由上述矛盾可知假设错误，所以(\sqrt{2})是无理数。本题我们推导出的是一个自相矛盾的结果，所以本题推出的矛盾是自相矛盾。
通过这两个例题，大家应该初步掌握了反证法证明的步骤。我们再来看第三题，设(a,b,c)都是大于0小于1的数。求证：((1 - a)b)，((1 - b)c)，((1 - c)a)不可能同时大于(\frac{1}{4})。对于本题，如果直接证明非常繁琐，所以我们考虑利用反证法这种间接证明的办法。