师：同学们好，非常高兴能和大家一起学习选修1 - 2第一章统计案例第一节回归分析的基本思想及其初步应用。说到回归分析，不得不提19世纪著名的英国生物学家和统计学家高尔顿。他的表兄是达尔文，高尔顿对达尔文的进化论学说痴迷，希望将其运用到自己的实践研究中。
有一次，高尔顿研究父代和子代之间的身高关系，从全国随机抽查了1078对夫妇及其儿子的身高数据。通过做散点图，他发现这组数据总体呈线性分布。于是，高尔顿以每对夫妇的平均身高作为自变量x，以他们成年儿子的身高作为因变量y，拟合得到直线方程y = 0.516x + 0.8567。根据这个方程，若父代平均身高是1.7米，代入计算，子代身高大约是1.73米，大家可以自行验证。不过，这个数据可能不太准确，一方面它是100多年前的数据，另一方面样本都是西方人的，可能不适合我们中国人的实际情况。
高尔顿没有停止研究，随着深入，他发现一个有趣现象：当父辈身高于所有人平均身高时，儿子比父辈更高的概率较小；当父辈矮于所有人平均身高时，儿子比父辈更矮的概率也较小。简单说，父母都高时，儿子身高往往稍矮一点；父母平均身高矮时，儿子身高往往稍高一点。也就是说，儿子的身高有向父辈平均身高回归的趋势。
1855年，高尔顿将研究成果写在论文上，首次提到“回归”概念，一直沿用至今。回归分析是当今社会常用的统计方法。回归分析主要研究两个变量之间的关系，两个变量之间存在哪些关系呢？我们学过函数关系，即自变量唯一确定时，因变量也随之唯一确定，这种函数关系也叫确定性关系。当然，两个变量之间也可能毫无关系，即一个变量的变化不会引起另一个变量的变化。第三种关系是相关关系，当一个变量取值一定时，另一个变量的取值带有一定随机性，这样两个变量之间的关系就是相关关系。显然，如果函数关系是确定性关系，那么相关关系就是非确定性关系，而回归分析主要研究具有相关关系的两个变量的统计方法。
现实生活中有很多这样的关系，比如标准身高和体重之间、家庭用电量与电价之间、家庭年收入与年支出之间、树木高度与直径之间、农作物施肥量与产量之间，还有吸烟与患肺癌之间，它们存在什么样的关系呢？为回答这些问题，首先要确定研究对象，也就是明确用什么量去刻画它。确定研究对象后，要收集数据，回忆一下，收集数据常用的方法有简单随机抽样、系统抽样、分层抽样。通过这些抽样方法得到一组样本点，分析样本点，就可以用样本数据估计总体情况。
为更直观地看出两个变量之间的关系，一般会画出散点图。若两个变量存在线性关系，就可以用最小二乘法求出回归直线方程。这里b?有两种等价的计算方法，实际应用中，哪种方法简单就用哪种。算出b?后，将样本点的中心（x?，y?）代入回归方程就能得到a，并且回归直线一定过样本点的中心。求出回归直线方程后，就可以利用它进行预测，解决实际生活中的问题。
为进一步学习回归分析的基本思想及其初步应用，来看一个身边的案例。例一，从某大学随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如表所示。要求根据女大学生的身高预报体重的回归方程，并预报一名身高为172厘米的女大学生的体重。
读完问题，首先明确研究对象是女大学生的身高和体重，可选用女大学生的身高为自变量x，体重为因变量y。为直观看到两者关系，可做出散点图。这里利用Excel表格展示，事先已将数据输入表格，在Excel中通过插入图表功能，选定两组数据插入散点图，就得到这组数据的散点图。观察散点图，数据总体分布在条状区域内，具有较好的线性关系，可用最小二乘法求线性回归方程。