师：同学们好，我们今天学习初中数学北师大版九年级下册第三章圆的第四节圆周角和圆心角的关系的第二课时。上节课我们已掌握圆周角的概念、圆周角定理及相关推论。本节课我们将继续利用圆周角定理探究推论2和推论3。下面先来了解本节课的学习内容：一是复习巩固圆周角和圆心角的相关知识；二是熟练应用直径所对的圆周角是直角，90度的圆周角所对的弦是直径；三是掌握圆内接四边形的概念及性质，并学会应用。
首先，复习上节课的知识点。问题一，什么是圆周角？顶点在圆上，两边分别与圆还有另一个交点，像这样的角叫圆周角。它的主要特征：一是角的顶点在圆上，二是角的两边都与圆相交。结合右边图形，我们可以找到分别以点A、点B、点C、点D和点E为顶点的圆周角。
下面是推论一的内容：同弧或等弧所对的圆周角相等。结合图形，弧AC所对的圆周角有∠ABC、∠ADC和∠AEC。根据推论一，这三个角相等。
第二个问题，什么是圆周角定理？圆周角度数等于它所对弧上圆心角度数的一半。上节课我们分别讨论了三种不同情况，最终通过严谨证明得出∠ABC = 1/2∠AOC，从而总结出圆周角定理。圆周角定理是我们后面证明的重要依据。下面利用已掌握知识探究新知识。
第一个问题，直径所对的圆周角。结合图形思考，如图，AC是圆O的直径，求∠ADC和∠ABC的度数。分析：∠ADC和∠ABC都是圆周角，AC是圆O的直径，所以∠AOC = 180度，所对的弧AC为半圆弧，所对的圆周角在图中有∠ADC和∠ABC。根据圆周角定理可得∠ADC = 90度，∠ABC = 90度。图中点D和点B在圆周上位置改变后，角度仍不变。由此归纳得出推论二：直径所对的圆周角是直角。
那么这个推论的逆命题是否成立呢？即90度的圆周角所对的弦是直径吗？结合图形思考，若能给出严谨证明更好。如图所示，∠ADC为90度的圆周角，需证明∠AOC = 180度，从而推出AC是直径。根据圆周角定理，∠AOC等于∠ADC的2倍，所以∠AOC = 2×90度 = 180度，所以AC是圆O的直径。总结出90度的圆周角所对的弦是直径。
如果在原图基础上连结点DO，同学们有新发现吗？根据直径所对的圆周角是直角，可得三角形ADC是直角三角形，DO作为圆的半径，它等于1/2AC。这是不是想到以前学过的定理：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，很神奇吧？这个定理在圆的知识中很容易证明，数学知识的学习让我们不断进步。
现在帮小明同学解决困惑，小明想用直角尺检测某些工件是否恰好为半圆形，下面4种圆弧形，能判断哪个是半圆形？为什么？同学们思考并做出判断。
师：好，一起来看，图中可判断是半圆形的是图2。从图2中可看到放置符合圆周角定义，根据圆周角定理可得出所对的弦是直径，从而推出图中的弧为半圆形。而图1、图3和图4找不到理论依据证明，所以不能判断为半圆形。圆周角的概念和定理可帮我们准确判断。
在日常生活中，要善于利用所学知识解决生活中的问题。下面通过一道例题分析学习，让知识更好融会贯通。同学们看，圆O的直径AC为10厘米，弦AD为6厘米。第一问，求DC长；第二问，若∠ADC平分线交圆O于B点，求AB和BC长。下面先进入问题一的分析。
在问题一中，已知AC是圆O的直径，刚学的知识是直径所对的圆周角为90度，所以三角形ADC是直角三角形。又因为AC长度为10，AD长度为6，可使用勾股定理求DC长度。
师：下面来看，因为AC是直径，所以∠ADC = 90度。在Rt三角形ADC中，DC = √(AC2 - AD2) = √(102 - 62) = 8。
在第二个问题中，增加了∠ADC平分线DB交圆O于B点的信息，求AB和BC长。通过上一问知道AC是圆O的直径，新增加的AB、BC形成新的直角三角形ABC。新条件∠ADC平分线DB能带来什么知识点呢？可以发现∠ADB = ∠BDC，再利用同弧所对的圆周角相等，同学们发现与∠ADB相等的角是∠ACB，与∠BDC相等的角是∠BAC。同学们有思路了吗？
师：好，现在一起来看解答。因为AC是直径，所以∠ABC = 90度。又因为BD平分∠ADC，所以∠ADB = ∠CDB。又因为∠ACB = ∠ADB，∠BAC = ∠BDC，所以∠BAC = ∠ACB。这两个角是同一个三角形中的角，根据等角对等边，得出AB = BC。在Rt三角形ABC中，AB2 + BC2 = AC2，从而可计算出AB = BC = √2/2AC = √2/2×10 = 5√2厘米。
解答圆周角有关问题时，若题目出现直径条件，会考虑构造直角三角形解决。接下来探究第二个问题，圆内接四边形及其性质。先学习圆内接四边形的概念，四边形ABCD的四个顶点都在圆O上，像这样的四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆。
了解概念后，请同学们思考，圆内接四边形有什么特殊性质？先猜想，然后共同探究。下面进行圆内接四边形性质的探究，如图，四边形ABCD为圆O的内接四边形，圆O为四边形ABCD的外接圆。从图中看到四边形的四个角都是圆周角，且对角的两边与圆周的交点相同，由此猜想对角之间存在数量关系。先将内接四边形特殊为矩形，看看对角有什么特点。
师：当四边形ABCD为矩形时，∠A与∠C、∠B与∠D之间的关系为，∠A + ∠C = 180度，∠B + ∠D = 180度。特殊情况下，对角之和为180度。那么特殊四边形成立的结论在一般四边形中仍然成立吗？继续探究。
当四边形ABCD为一般四边形时，猜想∠A与∠C、∠B与∠D之间的关系。若仍猜想∠A + ∠C = 180度，∠B + ∠D = 180度，思考如何证明？圆内接四边形的对角互补。已知如图，四边形ABCD为圆O的内接四边形，圆O为四边形ABCD的外接圆。求证∠BAD + ∠BCD = 180度。
师：在这里，∠BAD和∠BCD分别以A、C为顶点，交圆于B、D两点的圆周角，它们所对的弧正好构成完整的圆。根据圆周角定理，能否构造出这两段弧所对的圆心角呢？同学们先思考。