师：同学们，大家好！今天我们继续学习 2.1 数列的概念与简单表示法的第二课时。首先，我们一起回忆上节课所学内容。谁能说说数列的定义是什么？
生：按一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做项，排在第一位的是首项，排在第 i 位的是第 i 项。
师：非常好。那数列有哪些表示方法呢？
生：可以用列表法、图像法、通项公式法来表示。
师：没错。那什么是数列的通项公式呢？
生：如果数列(a_{n})中第(n)项(a_{n})与序号(n)之间能用一个式子表示，这个式子就是数列的通项公式。
师：很好。下面我们通过一道例题来进一步复习巩固。写出下面数列的一个通项公式，使它的前四项分别是下列各数。先看第一小题，大家观察这道题，它给的数呈分式结构，第一项是(1)，后面是(\frac{3}{2})、(\frac{5}{4})、(\frac{7}{8})，和上节课学的整数有所不同。看分式时，有时要整体看，有时需将分子、分母分开看。这道题第一小题的分子部分，(\frac{3}{2})的(3)，(\frac{5}{4})的(5)，(\frac{7}{8})的(7)，第一项(1)可写成(\frac{1}{1})，那分子数字(1)、(3)、(5)、(7)构成了什么数？
生：奇数。
师：对，是奇数。再看分母部分(1)、(2)、(4)、(8)，可以写成(2^{0})，(2^{1})，(2^{2})，(2^{3})，这种数列上节课情境(3)中遇到过。我们要写通项，就是要找出项与序号(n)之间的关系。那分子是奇数，可以写成(2n - 1)的形式，大家看，(n = 1)时，(2×1 - 1 = 1)；(n = 2)时，(2×2 - 1 = 3)；(n = 3)时，(2×3 - 1 = 5)；(n = 4)时，(2×4 - 1 = 7)，规律就出来了。分母是(2^{n - 1})，所以它的一个通项可以写成(a_{n} = \frac{2n - 1}{2^{n - 1}})。
下面看第 2 小题，这是一个摆动数列(-1)，(2)，(-1)，(2)，它该怎么表示呢？对于这种正负交替的摆动数列，我们先考虑项的符号，负正负正，在函数中学过，奇数项为负，偶数项为正，可以用(( - 1)^{n})来表示符号。再看除去符号后剩下的绝对值(1)，(2)，(1)，(2)，怎么建立它与序号之间的关系呢？序号是(1)，(2)，(3)，(4)，这里奇数项都是(1)，偶数项都是(2)，我们发现这个值在某个值附近摆动，((1 + 2)÷2 = \frac{3}{2})，(1)到(\frac{3}{2})，(\frac{3}{2})到(2)，中间间距相同，都差(\frac{1}{2})。所以(1)，(2)，(1)，(2)可以写成(\frac{3}{2} - \frac{1}{2})，(\frac{3}{2} + \frac{1}{2})，(\frac{3}{2} - \frac{1}{2})，(\frac{3}{2} + \frac{1}{2})。那本题的通项就可以写成(a_{n} = \frac{(-1)^{n}×3 + 1}{2})。
数列只有这种表示方式吗？还有其他通项公式吗？上节课我们知道数列是函数，对于这种摆动数列，用熟悉的函数形式表示，大家能想到什么？
生：分段函数。
师：对，它的通项可以表示成(n)是奇数时(-1)，(n)是偶数时(2)。
那数列一定有通项公式吗？
生：不一定，有的数列没有通项公式，有的可能有多个。
师：没错。下面看这道题，第一小题，设数列(a_{n})满足(a_{1} = 1)，(a_{n} = 1 + \frac{1}{a_{n - 1}})（(n > 1)时），写出这个数列的前(5)项。第二小题，已知数列(a_{n})中，(a_{1} = \frac{1}{2})，(a_{n} = 1 - \frac{1}{a_{n - 1}})（(n > 1)时），写出它的前(6)项以及第(2020)项。大家看这两小题中都有连续两项之间的等式，这种式子在表示数列中起什么作用呢？按照要求，能写出前五项吗？我们来解一下。
第一小题，由题意可知(a_{1} = 1)，(a_{2} = 1 + \frac{1}{a_{1}} = 1 + 1 = 2)，(a_{3} = 1 + \frac{1}{a_{2}} = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2})，(a_{4} = 1 + \frac{1}{a_{3}} = 1 + \frac{2}{3} = \frac{5}{3})，(a_{5} = 1 + \frac{1}{a_{4}} = 1 + \frac{3}{5} = \frac{8}{5})。所以该数列的前五项依次是(1)，(2)，(\frac{3}{2})，(\frac{5}{3})，(\frac{8}{5})。
这道题如果再求第(6)项、第(7)项，甚至第(n)项能求出来吗？
生：能，但求后面项时要明确前面项，工作量可能比较大。
师：对，和数列的通项公式比，求具体项比较麻烦。这种式子叫什么呢？如果本题不给出首项，能确定后面的项吗？
生：不能，就像多米诺骨牌，没有首项没办法产生连锁反应。
师：所以给出这种式子时，一定要给出首项，当然有的题目会给中间某些项。这种式子有个名词叫数列的递推公式，这是表示数列的另一种方法。什么是数列的递推公式呢？已知数列(a_{n})的首项(a_{1})或前几项，其任何一项(a_{n})与它的前一项或前几项之间有关系，能用一个公式表示，这个公式就是该数列的递推公式。下面我们看第 2 小题。
根据刚才学习的递推公式概念以及第一小题的解法，(a_{1} = \frac{1}{2})，(a_{2} = 1 - \frac{1}{a_{1}} = 1 - 2 = -1)，(a_{3} = 1 - \frac{1}{a_{2}} = 1 - (-1) = 2)，(a_{4} = 1 - \frac{1}{a_{3}} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2})。这里发现了什么？
生：(a_{4})和(a_{1})相等，(a_{5})和(a_{2})相等，(a_{6})和(a_{3})相等。
师：对，数列是函数，研究函数时会关注周期性。我们一般推导一下，(a_{n + 3} = 1 - \frac{1}{a_{n + 2}} = 1 - \frac{1}{1 - \frac{1}{a_{n + 1}}})，通分化简得到(-\frac{1}{a_{n + 1}} - a_{n + 1} = 1 - \frac{1}{a_{n + 1}})，又可以用已知式子换一下，得到(a_{n + 3} = a_{n})，也就是相当于(f(x + 3) = f(x))的形式，它是以(3)为周期的。(2020 = 673×3 + 1)，所以第(2020)项等于第一项，也就是(\frac{1}{2})。我们得到题目要求的前六项(\frac{1}{2})，(-1)，(2)，(\frac{1}{2})，(-1)，(2)，第(2020)项是(\frac{1}{2})。下面我们看例 3。