师：同学们好，本节课我们学习初中数学人教版八年级下册第16章第三节二次根式加减的第一课时。下面来看一个实际问题，两列火车分别运煤2X吨和3X吨，问这两列火车共运多少吨煤？该怎么列式呢？问一共运多少吨，将两者相加即可，这样得到的是整式的加减，大家会计算吗？这里只需合并同类项，利用乘法分配律把公因式x提出来，合并系数就能得到答案。
那现在把题目变一变，把数据替换成二次根式，同学们还会列式吗？依然问共运多少吨煤，还是相加。这时得到的是二次根式的加法，又该如何计算呢？刚才整式的加减能给大家一些启发吗？这里有公因式吗？对，可以把根号x提出来，合并前面的系数，就能得到最终答案。这里依然用到分配率，能顺利算出这个二次根式加法运算，是因为找到了公因式，这里的被开方数相同。那下面这个二次根式的减法运算又该怎么做呢？会发现这里的被开方数2和8不一样，该如何寻找公因式呢？我们知道根号8可以化成最简二次根式，8可写成4乘以2，4能从根号下开出去，所以它可以化简成二倍根号2。那原来的算式是不是就可以写成3倍根号2 - 2倍根号2了？这时大家会做了吗？对，找到公因式根号2，利用分配率把根号2提出来，合并系数就能求出答案。同学们，刚才见到的三倍根号2和根号8，化成最简二次根式后发现被开方数相同，像这样的两个数，我们称它为同类二次根式。何为同类二次根式呢？就是先把几个二次根式化成最简二次根式，再看它们的被开方数，如果被开方数相同，就叫同类二次根式。
同学们，回头看看刚才做的二次根式加减法运算，发现其实在做什么呢？对，就是在合并同类二次根式，所以二次根式加减法的实质就是合并同类二次根式。意思是做二次根式加减法运算，要找到同类二次根式并合并。下面请同学们看看能不能顺利找出同类二次根式。
来看这题，在下列二次根式中判断哪些是同类二次根式，根据定义，第一步要做什么？对，要将它们化成最简二次根式，再看被开方数是否相同。那何为最简二次根式，有哪些要求呢？第一个要求，被开方数不含能开得尽方的因数或因式，也就是说根号下若有平方项甚至更高次项，都应从根号下开出去。第二个要求，被开方数不能含有分母。下面看第一题，根号下1/3，被开方数含有分母，肯定不是最简二次根式。要把分母上的3从根号下开出去该怎么办呢？我们学过一个公式，看到根号下有a的平方，是可以将它从根号下开出去的。所以给被开方数分子分母同时乘以3，这样分母就写成3的平方，能从根号下开出去。这时注意，3的平方在分母上，开出去也应写在系数的分母上，答案就是1/3倍的根号3。这道题除了用这个方法化成最简二次根式，还有其他方法吗？有。大家看根号下1/3，它是商的算术平方根，依据其性质可改写成根号三分之根号一，此时分母有根号，不是最简二次根式，需要进行分母有理化。接下来怎么做呢？上下同时乘以根号3，因为学过根号a括号的平方，当a大于等于0时，它就等于a ，所以根号3乘以根号3就是根号3的平方，等于3，这样就能成功去掉分母上的根号，依然化成1/3倍的根号3的答案。所以把题目化成最简二次根式，用刚才的公式或者现在的方法都可以，同学们可自行选择。
接下来看第二题，这里分母是18B，18B可写成9乘以2B，9能从根号下开出去。剩下的2B怎么办呢？可以分子分母同时乘以2B，这样分母就能写成6B整体的平方从根号下开出去，得到最简形式。再看这个，被开方数虽含有分母，但9能直接从根号下开出去，分子32可看成16乘以2，所以16/9能整个从根号下开出去，写成4/3倍的根号下2AB。看第四个，这道题只需将被开方数的分子分母同时乘以a，分母a平方就能从根号下开出去。27可写成9乘以3A，9也能开出去，所以这道题最终答案应该是负的5A分之3倍的根号下3A。再看这道题，被开方数是243，应拆成什么呢？它可看作81乘以3，81是9的平方，从根号下开出去得到18倍的根号3。最后一个，同样27可看作9乘以3，9能开出去，a立方可看作a平方乘以a，a平方也能开出去，分母剩下3A，只需分子分母同时乘以3A，整个分母就能从根号下开出去，得到最终结果。我们花大力气只完成了第一步，将所有二次根式化成最简二次根式，目的是什么呢？当然是观察它们的被开方数，记住被开方数相同就是同类二次根式，此时只看被开方数，前面的系数符号都无关。来看，被开方数是3的，这两个二次根式肯定是同类二次根式，同样，被开方数是2AB的，这两个也是同类二次根式，被开方数是3A的，这两个也是同类二次根式。通过这道题，相信同学们能体会到，判断两个数是不是同类二次根式要分两步，第一步一定要将它们化成最简二次根式，第二步再看被开方数是否相同。
再来看第二个例题，若这两个二次根式是最简二次根式，且是同类二次根式，在这个条件下求a和b的值，该怎么做呢？根据前面定义，既然是同类二次根式，它们的被开方数就应该相同，所以这里有3A - b = 7a + b，得到一个关于a、b的二元一次方程，但还不足以求出a、b具体值。怎么办呢？继续挖掘隐藏条件，题目说这是二次根式，所以根指数应该是2，也就意味着6A + 2B = 2，这样就得到一个关于a、b的二元一次方程组，解这个方程组就能求出a和b的值。通过这几道题的练习，相信同学们对同类二次根式有了深入了解，在此基础上，来看二次根式加减的混合运算。看这道题，是二次根式的加法运算，实质是合并同类二次根式，是不是要寻找同类二次根式？第一步该怎么做？化简，所以第一步要把它们化成最简二次根式。依次来看，8可拆成4乘以2，8可拆成9乘以2，2可拆成4乘以3，这里的4、9、4都能从根号下开出去，所以化简成这样。接下来第二步要干嘛呢？对，化简成最简二次根式是为了找被开方数，看被开方数相同的在哪里，那就是同类二次根式，找到同类二次根式后该怎么办？当然是合并，将它们合并起来，二次根式不变，合并系数。所以这道题答案应该是5倍根号2 + 2倍根号3。同学们注意，这时两个加数的被开方数不同，不是同类二次根式不能合并，所以这就是最后答案。