师：同学们好，今天我们学习的课题是相交线的第五课时。前面我们学习了平面内直线的位置关系之一——相交线，认识了相交线形成的角，如对顶角、邻补角及其性质。角的度数还可以刻画相交线的一种特殊位置情况——垂直。本节课，我们将从概念应用、性质运用、实际应用三个方面，复习巩固相关知识。
首先，在几何中，两条直线相交会产生一个交点，并形成以这个交点为顶点的四个角。那么，互为对顶角的角有几对呢？
生：有两对。
师：非常好。那三条直线相交于一点，会形成几对顶角呢？同学们可以先思考，这里产生了几组相交直线。像L1与L2，L2与L3，L1与L3，总共有3组相交直线。而一组相交直线产生两对对顶角，这样总共会产生2×3 = 6对顶角。
同学们再接再厉，4条直线相交于一点，同样先思考产生了几组相交直线。这里有L1与L2、L1与L3、L1与L4、L2与L3、L2与L4、L3与L4，共6组相交直线，所以产生了2×6 = 12对顶角。
终极挑战，n条直线相交于一点呢？聪明的你们一定发现规律了，先找相交直线的组数，再将组数乘以2。如何确定相交直线的组数呢？
我们可以这样思考，L1与剩下的n - 1条直线组成n - 1组相交直线；L2与其余n - 1条直线组成n - 1组相交直线，以此类推，直到Ln与其余n - 1条直线，组成n - 1组相交直线。这样相交直线的组数共有n个n - 1的和，也就是n×(n - 1)。但是，这里有个问题，有同学发现，同样一组直线，例如L1与L2，L2与L1，我们算成了两次。所以相交直线的组数实际是n×(n - 1)÷2。对顶角的对数是组数乘以2，结果就是n×(n - 1)。这里老师要提醒大家，我们要关注n的取值范围，n要大于等于2，因为相交直线至少有两条。
相交直线有一种特殊的位置情况——垂直。来看下一题，如图，AC垂直于BC，CD垂直AB于点D，其长度能表示点到直线或线段距离的不同线段有几条？前面我们已经了解，点到直线的距离就是过点作目标直线垂线段的长度。图中垂直关系有两个，AC垂直于BC，CD垂直于AB，由此产生的垂线段有AC、BC、CD、AD、BD，共5条。例如线段AC的长度是指点A到BC的距离，同学们可以指出其他四条线段分别是哪个点到哪条线的距离吗？试一试。
以上我们复习了对顶角和点到直线的距离两个概念，接下来看性质的运用。
如图，直线AB、CD、EF相交于同一点O，如果OE平分角AOC，那么OF平分角BOD吗？为什么？大家仔细观察图形，思考一下，要判断OF是否平分角BOD，需要比较角BOF与角DOF的大小，我们可以找它们的对顶角。
生：角BOF的对顶角是角AOE，角DOF的对顶角是角COE。
师：非常好，所以它们的数量是相等的。那么角AOE与角COE的大小关系呢？条件中，OE平分角AOC，所以角AOE等于角COE，故角BOF等于角DOF，所以OF平分角BOD。具体说理如下。
本题运用对顶角相等的性质，将两个目标角的大小关系转化为其对顶角的大小关系，体现了数学中的转化思想。我们再看下一题。
如图，直线AB、CD相交于点O，角BOE等于角EOD，且角AOE等于10度，求角AOC的度数。
仔细观察图形，我们发现角BOE等于角BOC + 角COE，角EOD等于角DOA + 角AOE。而等式右边的角BOC与角DOA是对顶角，数量相等。又因为条件有角BOE等于角EOD，所以角COE等于角AOE，那么角AOE等于20度。
接下来请同学们准备纸笔和三角板，按要求完成下列问题。如图，直线AB和CD相交于点O，点P为CD上一点。第一小题，过点P作AB的垂线交AB于点M。同学们在画之前想一想做垂线的具体方法。前面老师讲过，做垂线分三步：一靠目标直线，二过点，三画垂线。第一小题的目标直线是直线AB，所以将三角板一条直角边紧靠目标直线AB并移动，使得另一条直角边经过点P并划线，标记垂足M和垂直符号。同理可以完成第二题。
这里的PM和PN是直线AB外的一点P与直线上的一点连接的线段。我们由垂线段最短得PM小于PN。平面中的线垂直会形成多个直角，利用这个可以找到问题的突破口。请看下一题，如图，已知AB是直线，OD平分角COA，DO垂直于OE，以射线OD为始边，小于平角的所有角之和为330度。第一小题，求角COD的度数。同学们可以找一找以射线OD为始边小于平角的所有角，有角DOA、角DOC、角DOE、角DOB，它们的和等于330度。由平面内直线的特殊位置关系，是否可以找到特殊大小的角呢？