师：同学们好，欢迎走进数学课堂。今天我们一起学习整式的除法第一课时。前面几节课我们学习了幂的相关运算性质以及整式的乘法，大家想一想，有没有和除法相关的内容呢？
生：同底数幂的除法，a的m次方除以a的n次方等于a的m减n次方。同底数幂相除，底数不变，指数相减。
师：非常好。类似于整式的乘法，我们也先从单项式下手。请回忆一下，单项式与单项式是怎样相乘的呢？
生：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。
师：下面看一个实际问题。如图，三个大小相同的球恰好放在一个圆柱形盒子里，大家先猜猜三个球的体积占整个盒子容积的几分之几？数学是严谨的学科，能不能通过已有的知识算一算呢？为方便计算，假设球的半径是r 。那一个球的体积是$\frac{4}{3}\pi r^{3}$。根据题意，三个球恰好放在圆柱形盒子里，圆柱底面半径是r，圆柱的高是三个直径，也就是6r 。此时根据圆柱体体积公式，可得出圆柱体盒子的容积是$\pi r^{2}\times6r = 6\pi r^{3}$。现在求三个球的体积占整个盒子容积的几分之几，应该用三个球的体积除以圆柱体的容积，那这个算式怎么计算呢？这就是我们今天要学习的内容——单项式除以单项式。
先看几个简单的单项式相除，和乘法类似，在不引起歧义的情况下，单项式的括号可以不加。大家能完成计算吗？好朋友给了个提示，可以用类似于分数约分的方法来计算。先试试第一题，$x^{5}y$除以$x^{2}$，就应该等于$\frac{x^{5}y}{x^{2}}$，分子有5个x，分母有2个x，约分后得到3个x，y保持不动，结果是$x^{3}y$ 。第二题，同样写成分数形式，分子的8和分母的2可以约分，分子两个m，分母两个m约掉，分子两个n，分母一个n，最终得到4n 。第三题，用类似方法可得结果是$\frac{1}{3}a^{2}bc$。除了这种方法，还有其他方法吗？
生：老师，还有一种方法。我们已经学过单项式的乘法，乘除运算有一种互逆的关系。我们可以借助这一点来完成计算。因为$x^{2}$乘以$x^{3}y$等于$x^{5}y$，那么$x^{5}y$除以$x^{2}$，自然就等于$x^{3}y$。同样的，$8m^{2}n^{2}$除以$2m^{2}n$等于4n ，$a^{4}b^{2}c$除以$3a^{2}b$等于$\frac{1}{3}a^{2}bc$，和上面计算结果一样。
师：这两种方法虽然完成了计算，但都不简便。其实单项式与单项式相除是有法则的：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除数里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。以$a^{4}b^{2}c$除以$3a^{2}b$为例，再来算一算。计算前，先找准三部分：系数、同底数幂，以及只在被除数里含有的字母。第一个单项式系数是1（通常省略不写），第二个单项式系数是3，系数相除$1\div3$；同理，$a^{4}$除以$a^{2}$，$b^{2}$除以$b$，只在被除式里含有的字母c ，分别完成计算，结果是$\frac{1}{3}a^{2}bc$，和前面两种方法算出的结果一样。利用这个法则，单项式除以单项式就变成了我们熟悉的有理数的除法以及同底数幂的除法，很轻松吧？咱们一起再把法则读一遍。
生：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。
师：请同学们注意，商式包含三部分：系数、同底的幂以及被除式里单独有的幂。来判断一下下列计算是否正确，注意紧扣法则。
（老师出示题目，师生一起判断）
师：第一题是错的，系数相除对，但同底数幂相除算错，结果应该是$2a^{6}$。第二题也错了，系数相除$10\div5$应该是2，同底数幂相除对，结果应该是2a 。第三题也错，$-9$除以$-3$应该是正3，计算错误，同底数幂相除对，结果应该是$3x^{4}$。最后一题也错，系数相除、同底数幂相除都正确，但只在被除式当中含有的字母b被漏掉了，结果应该是$3ab$。在这里老师再次提醒，计算时分三部分：系数、同底数幂，以及只在被除数式里含有的字母，一个都不能出错，计算要认真细心，紧扣法则。下面就让我们紧扣法则一起来完成计算。
（老师出示题目，学生计算）
师：第一题找准系数、相同字母幂分别进行计算。第二题同样扣准法则，系数、同底数幂分别相除。第三题稍微复杂点，要根据运算顺序先算乘方，然后从左到右依次完成计算。大家看看这个计算运用了哪些法则？
生：首先运用了积的乘方，然后运用了单项式与单项式相乘，最后用到单项式与单项式的除法。