师：同学们好，今天我们继续学习人民教育出版社必修五第三章第三节“二元一次不等式组与平面区域”的第二课时。首先，我们来复习回顾上节课的内容。二元一次不等式有哪两个基本特征？其一般形式是怎样的？
生：二元表示含有两个未知数，一次指的是未知数的最高次数是一。它的一般形式为 (ax + by + c \leq 0) 或 (ax + by + c \lt 0)，以及 (ax + by + c \geq 0) 或 (ax + by + c \gt 0)。
师：很好。那怎样画出二元一次不等式所表示的平面区域呢？
生：首先用直线定界，边界线可能为虚，也可能为实，这取决于二元一次不等式是小于、小于等于，还是大于、大于等于号。小于号和大于号的边界线画为虚线，小于等于号与大于等于号的边界线画为实线。然后用特殊点定域，如果直线不经过原点 ((0,0))，通常用原点来定域；如果经过原点，可以换用其他点，比如 ((0,1))、((0, -1))、((1,0))、(( -1,0)) 等来定域。
师：非常正确。我们还要回忆一下怎样画一元一次不等式所表示的图形。比如 (x - 4 \gt 0)，(x - 6 \leq 0)，初中时我们是在数轴上表达它们的。(x - 4 \gt 0) 指的是数轴上 (4) 右侧的所有点，(x - 6 \leq 0) 指的是 (x = 6) 以及它左边的所有点。那么一元一次不等式组表示的图形是什么呢？
生：是这两个一元一次不等式所表示部分的公共部分。
师：没错。那二元一次不等式组所表示的平面区域是什么呢？先看这个不等式 (y \lt -3x + 12)，它表示的平面区域是哪个半平面呢？
生：第一步，画出直线 (y = -3x + 12)，它与 (x) 轴的交点为 ((4,0))，与 (y) 轴的交点为 ((0,12))，通过这两点确定直线 (y = -3x + 12)，这里要画成虚线。用原点 ((0,0)) 作为测试点，将原点代入不等式，(0 \lt 0 + 12)，不等式成立，所以原点同侧的点对应的就是 (y \lt -3x + 12) 的区域。
师：很好。再看第二个问题，不等式 (x \leq 2y) 表示的平面区域是哪个半平面呢？
生：先画出直线 (x = 2y)，要化成实线，因为原点 ((0,0)) 在直线 (x = 2y) 上，所以换一个点作为测试点，比如 ((0,1))。当 (x = 0)，(y = 1) 时，不等式成立，所以与点 ((0,1)) 同侧的这块区域就是 (x \leq 2y) 表示的平面区域。
师：现在将这两个不等式构成不等式组，这个不等式组所表示的平面区域与上述两个平面区域有什么关系呢？
生：和一元一次不等式组类似，是两个二元一次不等式所表示平面区域的交集部分，也就是各个不等式表示的平面区域的公共部分。
师：对。大家看，这里有一块绿色的阴影部分，就是刚才两块平面区域的公共部分。这里有个细节，两条直线的交点为 (P) 点，那么 (P) 点是否在公共区域内呢？
生：因为 (y = -3x + 12) 整条直线都是虚线，说明这整条直线都不在公共区域内，(P) 点是虚线上的一点，所以 (P) 点不在公共区域内。
师：非常好。接下来我们看课本第 86 页的练习三，不等式组 (\begin{cases}x - 3y + 6 \geq 0 \ x - y + 2 \lt 0 \end{cases}) 表示的平面区域是哪个呢？
生：先看第一条直线 (x - 3y + 6 = 0)，它与 (x) 轴的交点为 (( -6,0))，与 (y) 轴的交点为 ((0,2))，画出这条实线。把原点 ((0,0)) 代入检验，(0 - 0 + 6 \gt 0)，不等式成立，所以 (x - 3y + 6 \geq 0) 所对应的平面区域是这条实线右下方。
师：那第二条直线呢？
生：第二条直线 (x - y + 2 = 0)，与 (x) 轴的交点为 (( -2,0))，与 (y) 轴的交点为 ((0,2))。把原点 ((0,0)) 代入，(0 - 0 + 2 \gt 0)，不等式不成立，所以它是与原点相反的内测区域，也就是虚线的左上方。实线右下方与虚线左上方的共同区域，(B) 选项是正确的。
师：接下来请同学们自己动笔画出不等式组 (\begin{cases}x - y + 5 \geq 0 \ x + y \geq 0 \end{cases}) 表示的平面区域。
生：首先画出平面直角坐标系，先画出 (x - y + 5 = 0) 这条直线，用原点 ((0,0)) 代入检验，发现原点同侧的区域表示的是 (x - y + 5 \geq 0) 的部分。再画出 (x + y = 0) 这条直线，用点 ((0,1)) 代入检验，得到这条直线的右上方区域是 (x + y \geq 0) 这个不等式所对应的区域。两块区域的公共部分是一个开放性区域。
师：这里也有个细节问题，两条直线的交点为 (P) 点，这个 (P) 点是否在公共区域内呢？
生：这两条直线均为实线，所以这两条直线都在公共区域内，那么它们的交点 (P) 也在公共区域内。
师：我们将刚才的练习做个变式，在上题中再加上一个条件 (x \leq 3)，这时平面区域会是什么图形呢？
生：在刚才做好的平面区域内，画出 (x = 3) 这条直线，(x \leq 3) 是这条直线左侧的部分。与刚才找好的区域再次求交集，得到一个三角形区域，所以平面区域是一个封闭图形。
师：如果让你求围成的三角形的面积，你会求吗？
生：为了求三角形的面积，需要找到三角形的三个顶点坐标。第一个顶点坐标是 (x = 3) 与 (x - y + 5 = 0) 的交点，横坐标是 (3)，代入 (x - y + 5 = 0)，可得纵坐标为 (8)。第二个顶点横坐标是 (3)，在 (x + y = 0) 这条直线上，所以纵坐标为 (-3)。第三个顶点是 (x - y + 5 = 0) 与 (x + y = 0) 的交点，联立方程组 (\begin{cases}x + y = 0 \ x - y + 5 = 0 \end{cases})，解得坐标为 (( -2.5,2.5))。