师：同学们好，今天我们学习初中数学上海科学技术出版社九年级下册第25章投影与视图第一节投影第二课时。首先，咱们一起来了解本节课的学习目标。一是了解正投影的概念，明确正投影与平行投影之间的关系；二是掌握正投影的性质；三是了解一个物体的正投影与它视图之间的关系。
在正式进入本节课内容前，老师想请同学们回忆一下上节课所学内容。大家想一想，什么是投影、投射线以及投影面呢？一般来说，用光线照射物体，在某个平面上得到的影子，我们就称之为投影。比如，大家看这张图片，人物在地面上的影子就是投影，照射的光线叫做投射线，投影所在的平面叫做投影面。
我们再来回顾一下什么是平行投影和中心投影。请同学们看老师的动画演示，首先看到的是中心投影，它有什么特点呢？我们发现它的投射线集中于一点，投影会随着光源的移动而发生变化。接下来看到的是平行投影，其特点是投射线互相平行。请同学们仔细观察。
根据刚才的动画演示，大家想一想平行投影和中心投影有什么区别和联系呢？投射线集中于一点的，我们称之为中心投影；投射线互相平行的，我们称之为平行投影。中心投影和平行投影都是投影的一种。那么，老师想请同学们再回忆一下，在刚才的动画演示过程中，有没有什么特殊的情况呢？带着这个问题，我们来看下面的观察与思考。
三角形纸板在光线照射下形成投影，观察下图，它们有什么相同点和不同点呢？很显然，它们都是平行投影，不同点在于照射光线角度不同。明显能看出，第二张图片的投射线是垂直于投影面的。我们都知道，垂直是初中几何里一个特殊的位置关系。那么，今天就引入我们正投影的概念：在平行投影中，如果投射线垂直于投影面，那么这种投影称为正投影。
了解正投影的概念后，接下来我们研究正投影的性质。首先，请同学们准备好铅笔、矩形纸板、立方体纸盒，从线到面再到体逐步探究。探究一：用一束平行光垂直于水平桌面照射一支铅笔AB，改变铅笔AB的位置，观察它在桌面上投影的形状，看看能发现线段投影的什么规律。同样，请同学们观察老师的动画演示，在演示过程中，仔细观察铅笔、投影面与投影之间的联系。我们把铅笔用这条线段来表示，在铅笔移动过程中，请同学们仔细观察。
当线段平行于投影面时，投影是什么样的？当线段不断倾斜于投影面时，投影发生了怎样的变化？当线段垂直于投影面时又如何呢？再来一遍：当线段平行于投影面，当线段不断倾斜，当线段逐渐并垂直于投影面。同学们记住刚才的动画演示了吗？通过刚才的演示，我们可以把铅笔分为三个状态：一是铅笔平行于投影面；二是铅笔倾斜于投影面；三是铅笔垂直于投影面。这三种状态下，铅笔AB的正投影各是什么形状呢？在什么情况下正投影与铅笔AB完全相同呢？我们来探究一下。铅笔可看作线段AB，h为投影面，铅笔处于平行、倾斜与垂直这三个状态。当线段AB平行于投影面时，线段AB的正投影为A1B1，我们将A1B1平移至AB处，会发现A1B1和AB完全重合，那么可以表示为AB = A1B1。当线段AB倾斜于投影面时，线段AB的正投影为A2B2，我们继续平移A2B2，不难得出A2B2小于AB。第三个状态，当线段AB垂直于投影面时，很显然线段的正投影成为了一个点，我们可以用A3B3 = 0来表示。
通过刚才的探究和讨论，我们可以知道：当线段AB平行于投影面h时，它的正投影是线段A1B1，线段与它的正投影A1B1的关系是AB = A1B1；当线段AB倾斜于投影面h时，它的正投影是线段A2B2，线段与它的投影大小关系为AB大于A2B2；当线段AB垂直于投影面时，线段的正投影为一个点。我们可以把这三段话总结为简单的15个字，也就是线段正投影的规律：平行长不变、倾斜长变短，垂直成一点。
以上就是线段正投影的性质，下面我们来练习一下，请同学们按下暂停键，思考这两题怎么做。第一题，木棒长为一米，则它的正投影的长一定是多少？根据线段正投影的性质，我们知道正投影的长度都会小于或等于线段原始的长度，所以这题答案很显然应该选D，小于或等于一米。第二题，在同一时刻两根长度不等的木杆置于阳光下，但它们的影长相等，则它们的相对位置是。这题我们采用排除法，A选项两根垂直于地面，根据正投影的性质，我们可以知道木棒的正投影都为点，那么可以近似看成相等。但是同学们考虑一下，这题有没有说是正投影呢？如果太阳光线是倾斜于木棒的怎么办？是不是就不相等了？所以A选项错误。B选项跟A选项是一样的道理，所以B选项也错误。D选项，一根倒在地上，同学们想一下，如果较长的木棒倒在地下，那么较短木棒的影长是否会变长呢？肯定不会，所以D选项也是错误的，所以这题答案应该选C。
练习完线段的正投影，我们上升一个难度，继续研究平面图形的正投影。探究二：用一束光线垂直于水平桌面照射一张矩形纸板ABCD，改变纸板的位置，观察它在桌面上投影的形状，看看能发现矩形ABCD投影的什么规律。同样，请同学们观察老师的动画演示，在演示过程中，仔细观察纸板、投影面与投影之间的联系。我们来看，当纸板平行于投影面时，投影是什么样的形状？当纸板在不断倾斜过程中，投影又发生了什么变化？当纸板垂直于投影面时呢？再来一遍：当纸板平行于投影面，当纸板不断倾斜，当纸板最后垂直于投影面。通过刚才的动画演示，我们可以知道纸板也可以分为三个状态：一是当纸板平行于投影面；二是当纸板倾斜于投影面；三是当纸板垂直于投影面。
这三种状态下，纸板的正投影各是什么形状呢？在什么状态下纸板的正投影和这个面的形状大小完全相同呢？我们进一步探究。我们把四边形ABCD当作纸板投影面，当四边形ABCD平行于投影面时，四边形ABCD的正投影为A'B'C'D'，用同样的方法，我们平移四边形A'B'C'D'，会发现四边形A'B'C'D'和ABCD完全重合，那么我们可以认为它的形状大小没有发生改变。
当纸板ABCD倾斜于投影面时，四边形ABCD的正投影为A'B'C'D'，同样进行平移，我们会发现四边形的形状和大小已经发生了改变。当四边形垂直于投影面时，我们会发现四边形的正投影变成了一条线段，我们可以用A'B'或C'D'等来表示。