师：同学们，大家好！今天我们一起学习初中数学北师大版八年级下册第六章平行四边形第二节平行四边形的判定第三课时。请大家准备好草稿纸、方格纸、直尺、铅笔、橡皮，一同进入今天的课堂。
今天的学习目标有两个：一是利用平行四边形的判定定理，研究夹在平行线之间的平行线段相等这一性质，并理解平行线之间的距离；二是能够综合运用平行四边形的判定定理和性质进行计算与证明。
在前几节课中，我们已经学习了平行四边形的性质和判定。现在，请同学们回顾一下，平行四边形的性质有哪些呢？我们可以从边、角、对角线这几个方面来看。边的性质是对边平行且相等；角的性质是对角相等，邻角互补；对角线的性质是互相平分。
那平行四边形的判定方法又有哪些呢？第一种，两组对边分别平行的四边形是平行四边形，这也是它的定义。第二种，两组对边分别相等的四边形是平行四边形。第三种，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。第四种，两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。我们可以发现，前三种判定方法都与平行四边形的对边有关，第四种则与平行四边形的对角线有关。
同学们，现在中国的高铁事业发展迅速，2035 年坐上高铁去宝岛台湾已不是梦想。可要实现这一切，需要中国的铁路人付出艰辛的努力。你们知道吗，他们在铺设铁轨时，夹在两根铁轨之间的平行枕木是否一样长呢？你能说明理由吗？怎样用我们所学的性质来解释呢？为了更好地说明这个问题，我们先尝试在方格纸上画出图形，并思考能得到什么结论，又是怎样得出的。
（展示图形）如图所示，两根笔直的铁轨就是两条互相平行的水平直线，从其中一条直线上任意取若干点，过这些点向另一条直线作垂线。我们可以通过度量的方法测得平行线间垂线段的长度，会发现它们一样长。所以夹在两根平行铁轨间的枕木一样长，这种最直观的方法就是度量法。
那若没有方格纸，你还会证明吗？请同学们根据图形写出已知、求证。已知直线(a)平行(b)，(A)、(B)是直线(a)上任意两点，(AC)垂直(b)，(BD)垂直(b)，垂足分别为(C)、(D)。求证(AC = BD)。请同学们先思考一下。
根据题目给定的已知条件，我们可以使用平行四边形的相关知识来解决。因为(AC)垂直(b)，(BD)垂直(b)，所以(\angle1 = \angle2 = 90^{\circ})，由此可得(AC)平行(BD)。又因为(AB)平行(CD)，所以四边形(ABDC)是平行四边形，这是根据平行四边形的定义。进而得出(AC = BD)，这是根据平行四边形的对边相等。
如果在直线(a)上再取一点(E)，作(EF)垂直(b)，(EF)与(AC)、(BD)有什么关系呢？根据刚才的证明方法，我们同样可以证明四边形(AEFD)是平行四边形，从而得到(EF = AC)。又因为(AC = BD)，所以(EF = AC = BD)。
你还能画出这样的线段吗？它们之间又有什么数量关系呢？不妨在直线(a)上取一点(M)，作(MN)垂直于(b)。我们还可以使用刚才同样的证明方法得出(MN = AC = BD = EF)。我们可以发现这样的线段有无数条，而且都相等。这些线段有什么共同特征呢？我们可以发现，这些线段都在两条平行线间，像(AC)、(BD)、(EF)，都是过直线上一点，向另一条直线作垂线。那这样的线段叫什么呢？
如果两条直线互相平行，则其中一条直线上任一点到另一条直线的距离都相等。这个距离称为平行线之间的距离，可以简记为两条平行线间的距离处处相等。如何用几何语言来描述呢？请同学们观察图形，想一想。我们可以这样描述：(A)、(B)是直线(a)上任意两点，因为(a)平行(b)，(AC)垂直(b)，(BD)垂直(b)，所以(AC = BD)。在这里特别强调，平行线之间的距离应该是等于平行线之间的垂线段的长。
请同学们思考，两条平行线之间的距离与点和点之间的距离、点和线之间的距离有何区别与联系？请同学们认真观察这三幅图形。两点之间的距离指的是两点之间线段的长度；点到直线的距离是过直线外一点作直线的垂线段的长度，有且仅有一条；而平行线的距离指的是从一条直线上任意一点向另外一条直线作垂线段的长度，而且平行线间的距离有无数条。它们的联系是都指的是一条线段的长度。同学们，你们掌握了吗？我们一起来练一练。
（展示题目）如图，直线(AE)平行(BD)，点(C)在(BD)上，若(AE = 5)，(BD = 8)，三角形(ABD)的面积为(16)，则三角形(ACE)的面积为多少？请同学们先思考。
由已知条件可以发现，要求三角形(ACE)的面积，只要知道(AE)上的高即可。又因为三角形(ABD)的面积是(16)，且(BD = 8)，所以(BD)上的高是可以求出来的。不妨过点(A)向(BD)作垂线，又因为(AE)平行(BD)，根据平行线之间的距离处处相等，过点(C)向(AE)作垂线，可知这两条垂线段的长度是相等的，从而得证。请同学们参照解题过程规范书写。
若把夹在两条平行线间的垂线段改为平行线段，它们是否相等呢？我们可以发现两条上下平行线和两条红黄平行线可以构成平行四边形，这是根据两组对边分别平行的四边形判定的。再根据平行四边形的性质对边相等，即可得出红线长度等于黄线长度。依次类推，我们可以发现这里黄线长度等于绿线长度，绿线长度等于蓝线长度，即四种颜色的平行线长度都相等。实际上这样的线还有很多条，且它们都相等，证明方法和前面一样。所以我们会得出结论，夹在两条平行线间的平行线段相等，我们发现这就是平行线间距离处处相等的一般形式。
（展示题目）如图，已知直线(l)平行(AB)，点(P_1)、(P_2)、(P_3)都在(l)上。三角形(ABP_1)、三角形(ABP_2)、三角形(ABP_3)的面积是否相等？为什么？请同学们仔细观察这三个三角形，你发现了什么？
我们发现这三个三角形有共同的边(AB)。三角形(ABP_1)的高是过(P_1)向(AB)作的垂线，同样，过点(P_2)向(AB)作垂线，过点(P_3)向(AB)的延长线作高。根据(l)平行(AB)，我们可以发现这三个三角形的高都相等，所以这三个三角形的面积相等，理由是同底等高。由此我们可以知道，同底或等底等高的三角形面积也是相等的。
请同学们拿出方格纸、直尺，以方格纸的格点为顶点，画出几个平行四边形，并说明画的方法和其中的道理。这是老师画的几个平行四边形，相信聪明的你会画得更好。就以老师画的图形为例，你能说画出的图形是平行四边形的道理吗？
以第一、第二幅图为例，有的同学说第一幅和第二幅图可以构成平行四边形的理由是，两组对边分别相等的四边形是平行四边形；也有的同学说是两组对边分别平行的四边形是平行四边形。在这里没有必要拘泥于一种形式，要根据你画图的方法确定作图的依据。
在这里，第一、二幅图，我是根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形画出的；第三幅图利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；第四幅图利用对角线互相平分的四边形是平行四边形；第五、六幅图，我利用的是两组对边分别平行的四边形是平行四边形。在这里我想尝试一下平行四边形的(4)种判定方法，同学们也可以灵活使用平行四边形的判定方法去画出平行四边形。