师：同学们好，欢迎来到数学课堂。本节课我们将学习初中数学北师大版九年级上册第四章第七节相似三角形的性质第二课时。同学们，你们准备好了吗？请跟周老师一起开始今天的数学之旅吧。
在学习本节课内容之前，请同学们回顾一下前面所学：相似三角形有哪些判定方法？我们一共学过三个判定方法：一是两角分别相等的两个三角形相似；二是两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三是三边成比例的两个三角形相似。那什么叫相似比呢？相似多边形对应边的比叫相似比。相似三角形又有哪些性质呢？性质一：对应角相等，对应边成比例。性质二：相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比都等于相似比。那么，相似三角形还有哪些性质呢？同学们，让我们一起接着向下探索吧。
如果三角形ABC相似于三角形A'B'C'，相似比为2，那么三角形ABC和三角形A'B'C'的周长比是多少？面积比又是多少呢？请同学们想一想。相信有的同学已经算出来了，它们的周长比是2，面积比是4。如果我把这两个三角形的相似比换成k，你还能求出三角形ABC和三角形A'B'C'的周长比和面积比吗？请同学们认真思考一下。
因为三角形ABC相似于三角形A'B'C'，相似比为k，所以AB比A'B' = BC比B'C' = CA比C'A' = k。根据等比的性质可得，(AB + BC + CA)比(A'B' + B'C' + C'A') = AB比A'B' = k。所以三角形ABC和三角形A'B'C'的周长比是k。
探究完了相似三角形的周长比，那么相似三角形的面积比该如何求呢？我们都知道三角形的面积公式是二分之一底乘高，要求三角形的面积就必须作高。所以我们可以分别以AB和A'B'为底，作这两边上的高线CD和C'D'。根据相似三角形对应高的比等于相似比，我们知道AB比A'B' = CD比C'D' = k。
所以三角形ABC的面积比三角形A'B'C'的面积 = （二分之一AB×CD）比（二分之一A'B'×C'D'） = AB×CD比A'B'×C'D' = （AB比A'B'）×（CD比C'D'） = k2。
同学们，相似三角形的面积比和相似比之间的关系，你能用自己的语言总结出来吗？通过我们自己的证明可以知道，相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。同学们，那你们有没有信心完成下面这两道题呢？已知三角形ABC与三角形A'B'C'的相似比为2 : 3，则对应边上的中线之比和面积之比分别是多少呢？请同学们认真思考一下。
根据相似三角形的性质，我们知道相似三角形对应中线的比等于相似比，面积比等于相似比的平方，所以中线之比等于2 : 3，面积之比等于4 : 9。如果两个相似三角形的面积之比为1 : 9，周长之比是多少呢？
因为面积之比为1 : 9，可以求出相似比为1 : 3，所以周长比也为1 : 3。通过刚才的探究得知，相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。那么两个多边形会不会也有这样的性质呢？同学们，你们有没有这样的疑惑呢？那就让我们一起接着向下探索吧。
如图，已知四边形ABCD相似于四边形A'B'C'D'，相似比是k。同学们，你能求出它们的周长比、面积比与相似比之间的关系吗？
类比前面求相似三角形周长比的方法，因为这两个四边形相似，且相似比为k，所以AB比A'B' = BC比B'C' = CD比C'D' = DA比D'A' = k。根据等比的性质，我们可以得到(AB + BC + CD + DA)比(A'B' + B'C' + C'D' + D'A') = k，所以相似四边形的周长比也等于相似比。那么如何来求相似四边形的面积比呢？请同学们认真思考一下。
相信有的同学一定会想到先把四边形分割成三角形再来探索，那就让我们一起来试试看吧。连接AC和A'C'。因为四边形ABCD相似于四边形A'B'C'D'，所以AB比A'B' = BC比B'C'，角B = 角B'，所以三角形ABC相似于三角形A'B'C'，所以三角形ABC的面积比上三角形A'B'C'的面积就等于k2。同理，AD比A'D' = CD比C'D'，角D = 角D'，所以三角形ACD相似于三角形A'C'D'，所以三角形ACD的面积比上三角形A'C'D'的面积就等于k2。
所以（三角形ABC的面积 + 三角形ACD的面积）比（三角形A'B'C'的面积 + 三角形A'C'D'的面积） = k2，所以两个相似四边形的面积比等于相似比的平方。同学们，我们现在知道了相似四边形的周长比、面积比与相似比之间的关系。那么两个相似五边形的周长比和面积比又怎样呢？两个相似的n边形呢？请同学们认真思考一下。