师：亲爱的同学们，大家上午好。在第五章，我们一起学习过与平移有关的知识。首先，请大家回忆一下平移的有关概念和基本性质。怎样的图形变换是平移呢？请大家跟老师一起大声说出来。
生：把一个图形整体沿某一直线方向移动一定的距离，会得到一个新的图形，图形的这种移动叫做平移变换，简称平移。
师：大家都知道，平移的方向和平移的距离是平移的两要素，它们直接决定了平移后新图形的位置。那么平移后得到的新图形与原图形有什么关系呢？大家可以从图形的形状、大小、位置等方面来回忆。
生：平移前后图形的形状大小相同，位置发生了改变。
师：同样，在平面直角坐标系中平移一个图形，图形上点的位置会发生变化，点的坐标也会发生相应改变。今天这节课，我们就探究在平面直角坐标系中怎样用坐标表示平移。我们首先从最简单的图形——点的平移开始探究。点A的坐标是(-2, -3)，将点A向右平移5个单位长度，得到点A? ，你能看出A?的坐标是多少吗？
生：(3, -3)。
师：也就是说，将点(-2, -3)向右平移5个单位长度，得到点(3, -3)。我们比较这两个点的坐标，你会发现平移后点的纵坐标没有变化，还是 -3，点的横坐标由 -2变为3，横坐标加5。将点A向左平移两个单位长度，得到A?的坐标是多少？
生：(-4, -3)。
师：同样，我们比较平移前后这两个点的坐标，你会发现纵坐标没有变化，横坐标减2。你发现了什么？
生：将点A向左或向右平移，纵坐标没有变化，横坐标发生了相应的变化。
师：我们可以把这一发现总结为规律一：点(x, y)向右平移a个单位长度，横坐标加a，纵坐标不变，对应点的坐标是(x + a, y)；点(x, y)向左平移a个单位长度，横坐标减a，纵坐标不变，得到对应点的坐标是(x - a, y)。我们可以用口诀简单总结为“左减右加纵不变”。我们继续探究上下平移，将点A向上平移四个单位长度，得到点A?的坐标是多少？
生：A?的坐标是(-2, 1) 。
师：同样，我们比较这两个点的坐标，你会发现横坐标为 -2没有变化，纵坐标由 -3变为1，纵坐标加4。将点A向下平移两个单位长度，得到点A?的坐标是多少？
生：A?的坐标是(-2, -5) 。
师：我们同样可以发现平移前后这两个点的横坐标没有变化，纵坐标减2。你又发现了什么？
生：将点A向上或向下平移的时候，横坐标没有变化，纵坐标发生了相应的变化。
师：我们把这一发现总结为规律二：点(x, y)向上平移b个单位长度，横坐标不变，纵坐标加b，得到对应点的坐标是(x, y + b)；点(x, y)向下平移b个单位长度，横坐标不变，纵坐标减b，得到对应点的坐标是(x, y - b)。同样，我们也可以把它总结为“上加下减横不变”。
同学们，通过实验操作、对比分析，我们发现了点的平移与点的坐标之间的关系：左右平移，横坐标改变，左减右加；上下平移，纵坐标改变，上加下减。这时，同学们可能会问，在平面直角坐标系中图形的平移与图形上点的坐标变化之间是否也有刚才的规律？接下来我们探究正方形的平移。如图，正方形ABCD四个顶点的坐标分别是A(-2, 4)、B(-2, 3)、C(-1, 3)、D(-1, 4)。将正方形ABCD向下平移7个单位长度，再向右平移8个单位长度，两次平移后，4个顶点相应变为点E、F、G、H，它们的坐标分别是什么？如果直接平移正方形ABCD，使点A移到点E，它和我们前面得到的正方形的位置相同吗？我们首先来探究问题一：将正方形ABCD向下平移7个单位长度，再向右平移8个单位长度，求平移后对应点的坐标。
先将正方形ABCD向下平移7个单位长度，再向右平移8个单位长度，得到正方形EFGH。观察平面直角坐标系，你能说出两次平移后四个顶点的坐标吗？
生：E的坐标是(6, -3)，F的坐标是(6, -4)，G的坐标是(7, -4)，H的坐标是(7, -3) 。
师：对比平移前后这四组对应点的坐标，我们看一看点A和点E的坐标，平移后横坐标由 -2变为6，横坐标加8，纵坐标由4变为 -3，纵坐标减7。再来看点B和F，平移后，横坐标由 -2变为6，横坐标加8，纵坐标由3变为 -4，纵坐标减7。同样的，点C和G、点D和H也有类似的规律，平移后它们的横坐标都是加8，纵坐标都会减7。同学们，通过对比我们发现两次平移后，正方形的四个顶点的坐标都发生了相同的变化，横坐标加8，纵坐标减7，这与我们前面总结的点的平移与点的坐标变化之间的规律是一致的。
实际上，不仅仅是正方形的四个顶点，正方形上所有的点平移后，它们的坐标都发生了相应的变化。这里我们可以通过平移的定义来解释这一事实：平移一个图形，就是将一个图形的整体沿某一直线方向移动一定的距离。请大家注意，我们平移的是这个图形的整体，也就是说每一次平移，图形上的所有点都要按照相同的方向移动相同的距离，当然所有点的坐标也会发生相应的变化。我们接着来探究第二个问题：如果直接平移正方形ABCD，使点A移到点E，它和我们前面得到的正方形的位置相同吗？
直接平移正方形ABCD，使点A移到点E，我们就确定了平移的方向和平移的距离。根据平移前后图形的对应点的连线段平行且相等，我们能够很快找到点B、点C、点D平移后的对应顶点F、G和点H。依次连接E、F、G、H，得到正方形EFGH。再将正方形ABCD根据刚才的方法两次平移，先向下平移7个单位长度，再向右平移8个单位长度，我们可以看到两个正方形完全重合，也就是说这两个正方形的位置相同。实际上我们也可以将正方形ABCD先向右平移8个单位长度，再向下平移7个单位长度，还是能得到相同的结论。
同学们，我们发现，将正方形ABCD依次沿两个坐标轴的方向平移后得到的正方形，可以通过将正方形ABCD直接做一次平移得到。两种平移方法可以相互转换。同学们，在刚才的实验探究中，我们解决了两个问题。由问题一我们可以发现，对一个图形进行平移，这个图形上所有点的坐标都要发生相应的变化：左右平移，横坐标改变，左减右加；上下平移，纵坐标改变，上加下减。由问题二我们可以发现，在平面直角坐标系中，将一个图形依次沿两个坐标轴的方向平移后，所得到的图形可以通过将原来的图形做一次平移得到。实际上反过来操作也是可以的，平移一个图形如果不是沿着坐标轴的方向平移的话，我们常常把它转换为依次沿两个坐标轴的方向平移两次，这样更容易表述平移的方向和平移的距离，也更容易确定平移后点的坐标变化情况。
相信现在绝大部分同学都已经掌握了图形的平移与图形上点的坐标变化之间的规律。接下来我们通过练习强化记忆，加深印象。请同学们选出正确的答案。点(-4, -1)向右平移两个单位长度，再向上平移3个单位长度，平移后点的坐标是多少？
生：横坐标加2，纵坐标加3， -4 + 2 = -2， -1 + 3 = 2，所以平移后点的坐标是(-2, 2)，选B。
师：你选对了吗？请看第2题，请大家注意，这一题是已知平移后点B的坐标(-3, 2)，求平移前点A的坐标(x, y)。实际上，解决这种问题，我们可以逆向思考，怎样将点B移回到点A的位置呢？我们可以将点B(-3, 2)向右平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度后与点A重合。现在你可以算出点A的坐标了吗？