师：同学们，大家好。在前几节学习中，我们认识了直接证明的方法。但有些数学命题，其条件和结论之间的关系并不明显，直接由条件推结论比较困难，这时就需要使用间接的证明方法。接下来，我们一起学习它的思维特点。
首先，来看一个小故事。大家肯定都熟悉“道旁苦李”的故事，王戎小时候，和小朋友在路上玩耍，发现路边一棵树上结满了李子。小朋友们一哄而上摘李子，只有王戎没动。后来小朋友摘了李子一尝，发现是苦的。同学们想一想，王戎小朋友的思维方式是怎样的？她是如何推断出李子一定是苦的呢？
生：她先假设路边李子是甜的，那么就会被路人摘光，这与事实矛盾，进而否定假设，得到李子是苦的结论。
师：非常好。我们再看一个数学命题。已知(a)是整数，(2)能整除(a^2)，求证(2)能整除(a)。直接从条件入手似乎很难，那我们考虑如果命题的结论不成立，即(2)不能整除(a)，会得到什么呢？
生：(a)一定是奇数，可将(a)表示为(2m + 1)，其中(m)是整数。
师：没错。于是(a^2 = (2m + 1)^2 = 4m^2 + 4m + 1 = 2(2m^2 + 2m) + 1)，这个数可以写成(2)的倍数再加(1)的形式，说明(a^2)是奇数，这与已知“(2)能整除(a^2)”矛盾。整个证明过程严谨，为什么会得出矛盾的结论呢？是因为我们假设“(2)不能整除(a)”是错误的，所以(2)能够整除(a)。
这个思维过程就是先假设(2)不能整除(a)，即结论的反面成立，进而推得(2)不能整除(a^2)，发现与已知矛盾，说明假设错误，从而证得原命题成立。
根据这两个例子的思维方式，我们可以总结出：在证明数学命题时，先假定命题的反面成立，在这个前提下，若推出的结果与定义、公理、定理相矛盾，或与命题中的已知条件相矛盾，或者与假定相矛盾，从而说明命题结论的反面不可能成立，由此断定原命题的结论成立。这种证明方法就叫做反证法。
我们再看一下反证法的思考特点以及证明步骤：首先做出否定结论的假设，然后进行推理，导出矛盾，最后否定假设，肯定结论，完成证明。
这种思维方式大家理解了吗？我们来看下面这个例题，求证(\sqrt{2})是无理数，该如何下手呢？
生：这题直接证明比较困难，可以考虑反证法，先假设(\sqrt{2})是有理数，再根据正确的推理得出矛盾，从而反证(\sqrt{2})不是有理数，但我感觉找到矛盾的方向有点困难。
师：很好。这位同学说可以先假设结论不成立，但觉得推出矛盾的过程比较困难。那我们一起看一下。假设(\sqrt{2})不是无理数，根据实数的定义，它就一定是有理数，而有理数可以表示成两个整数的比值。于是设(\sqrt{2} = \frac{q}{p})，其中(p)、(q)都是整数，且(p)、(q)互素，也就是(p)、(q)除了(1)之外没有其他公约数。
把(p)乘过来得到(\sqrt{2}p = q)，两边平方可得(2p^2 = q^2)，所以(q^2)是偶数，因为(q^2)可以写成(2p^2)的形式。根据前面的例子，(q)也是偶数。不妨设(q = 2k)，这里(k)也是整数。继续代入(2p^2 = q^2)，得到(2p^2 = 4k^2)，两边约掉(2)，得到(p^2 = 2k^2)，这说明(p^2)是偶数，所以(p)也是偶数。
现在我们得到(q)是偶数，(p)也是偶数，发现矛盾了吗？
生：它与(p)、(q)互素矛盾。
师：对，如果(p)、(q)都是偶数，就有(2)这个公约数，与(p)、(q)互素矛盾，假设不成立，从而证得(\sqrt{2})不是有理数，原命题成立，(\sqrt{2})是无理数。
下面我们再看一个问题。已知(A_1 + A_2 + A_3 + A_4 > 100)，求证(A_1)、(A_2)、(A_3)、(A_4)中至少有一个数大于(25)。这里的“至少”如果用反证法该如何假设呢？
生：可以把情况列举出来，也可以根据命题的否定，“至少有一个”的反面是“至多有(0)个”。
师：很好。假设结论不正确，即(A_1)、(A_2)、(A_3)、(A_4)都不大于(25)，“不大于”就是小于等于，即(A_1 \leq 25)，(A_2 \leq 25)，(A_3 \leq 25)，(A_4 \leq 25)。然后进行累加，可得(A_1 + A_2 + A_3 + A_4 \leq 100)，发现矛盾了吗？